5.3 Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性

第 5 章现在由序列转向函数。新的困难在于：序列是通过离散的索引 n 向前走，但函数的自变量 x 可以从左、从右，以无穷多种实数方式逼近一个点 a。

这就是为什么需要引入 $\delta$ - $\varepsilon$ 定义。

由序列极限走向函数极限

上一章的

\lim_{n\to\infty}x_n=L

意思是：只要把索引取得足够后，序列值就能进入 $L$ 周围任意窄的误差带。

对函数来说，我们想表达同样的思想：

当 x 靠近 a 时，f(x) 靠近 $L$ 。

但这里已经不能再说“把 n 取得够大”。我们需要新的量去描述“x 与 a 够接近”，这个角色就是 $\delta$ 。

Open intervals 与 punctured domains

notes 先指明要处理哪类定义域。

定义

Open interval

Open interval 是 $R$ 的下列形式子集：

(b,c)=\{x\in R\mid b<x<c\},

(-\infty,c)=\{x\in R\mid x<c\},

(b,\infty)=\{x\in R\mid b<x\},

其中 $b,c\in R$ 且 $b<c$ 。

要讨论 a 附近的函数极限时，notes 考虑的是在某个 open interval 里，把点 a 移除后的函数。这一点很重要：极限研究的是 a 附近 发生什么，而未必是 a 本身的函数值。

正式的 delta-epsilon 定义

定义

函数在一点的极限

设 $I$ 是一个包含 $a\in R$ 的 open interval，并令 $f:I\setminus\{a\}\to R$ 。若对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ 使得

0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon,

则我们说

\lim_{x\to a}f(x)=L.

这个蕴含式要慢慢读：

$0<|x-a|<\delta$ 表示 x 已进入 a 周围的 punctured neighborhood；
$|f(x)-L|<\varepsilon$ 表示函数值进入 $L$ 周围的 $\varepsilon$ -带。

所以整个定义的意思是：

对每个你要求的输出精度 $\varepsilon$ ，都能找到一个足够小的输入范围 $\delta$ ，使得只要 x 落在那范围内，f(x) 就会落在 $L$ 周围的误差带内。

常见错误

函数极限定义不理会 a 点本身的值

条件中的 $0<|x-a|$ 把 $x=a$ 排除了。所以 f(a) 可以未定义，也可以和 $L$ 不同，而极限仍然可以存在。

第一个例子： $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$

Example 19 是最基本的 linear 函数例子。

例题

取 $\delta=\varepsilon/2$

令 $f(x)=2x+1$ 、 $a=3$ 、 $L=7$ 。则

|f(x)-7| = |(2x+1)-7| = |2x-6| = 2|x-3|.

所以要使 $|f(x)-7|<\varepsilon$ ，只需保证

|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}.

故可取

\delta=\frac{\varepsilon}{2}.

这样一来，只要 $0<|x-3|<\delta$ ，

|f(x)-7|=2|x-3|<2\delta=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

因此

\lim_{x\to 3}(2x+1)=7.

这个例子展示了最标准的证明模式：

由 $|f(x)-L|$ 开始；
把它化成与 $|x-a|$ 有关的式子；
然后倒推出一个可行的 $\delta$ 。

另外两个基本例子

例题

Constant functions

若 $f(x)=c$ 对所有 x 都成立，则

|f(x)-c|=|c-c|=0<\varepsilon

对任意 $\varepsilon>0$ 和任意 x 都成立。

所以任何正数都可以当作 $\delta$ ，而

\lim_{x\to a}c=c.

例题

有一个 hole 的函数

考虑

f:(0,\infty)\setminus\{2\}\to R,\qquad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

虽然这条公式在 $x=2$ 未定义，但对 $x\ne 2$ ，可化简成

f(x)=x+2.

所以在 $x=2$ 附近，

|f(x)-4|=|(x+2)-4|=|x-2|.

因此取 $\delta=\varepsilon$ 即可。只要 $0<|x-2|<\delta$ ，便有

|f(x)-4|<\varepsilon.

故

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4,

即使 f(2) 根本不存在。

把 delta 邻域映到 epsilon 带

图： $\delta$ - $\varepsilon$ 定义把 a 附近的输入邻域，连到 $L$ 周围的输出误差带。证明工作的核心，就是选出一个足够好的 $\delta$ ，让这个蕴含式总能成立。

用互动方式看清这个定义

下面的互动演示让你在典型例子之间切换、选择 $\varepsilon$ ，再试不同样本输入 x。核心就是把

0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon

看成输入区间与输出误差带之间的一个对应。

边读边试

用几何方式检查一次 delta-epsilon 蕴含

这个工具把 x 端的 delta 条件与 y 端的 epsilon 条件连在一起，让读者把正式定义看成两个互相配合的几何检查。

0 < |x - a| < δ，其中 δ = 0.25

x = 2.8

|f(x) - L| < ε，其中 ε = 0.5

f(x) = 6.6

0 < |x - a| < δ

|2.8 - 3| = 0.2

所选 x 的确落在 delta 邻域内。

|f(x) - L| < ε

|6.6 - 7| = 0.4

函数值落在 L 周围的 epsilon 带内。

极限如何失败？

notes 接着说明：如何证明某个候选极限不存在。

若要证明 $\lim_{x\to a}f(x)\ne L$ ，就要找到一个固定的 $\varepsilon>0$ ，使得不论 $\delta$ 取多小，总能找到某个 x 满足 $0<|x-a|<\delta$ ，但同时

|f(x)-L|\ge \varepsilon.

Example 22 用的是

f(x)=\frac{|x|}{x},

它在 $x>0$ 时等于 1，在 $x<0$ 时等于 $-1$ 。

例题

为什么 $|x|/x$ 在 `0` 没有极限

取 $\varepsilon=1$ 。任意给定 $\delta>0$ ，令

x_1=\frac{\delta}{2}>0, \qquad x_2=-\frac{\delta}{2}<0.

两者都满足 $|x_i|<\delta$ ，但

f(x_1)=1,\qquad f(x_2)=-1.

没有任何单一实数 $L$ 能同时和 1、 $-1$ 都相距小于 1。因此该函数在 0 没有极限。

这就是一种典型失败方式：左边逼近与右边逼近给出互不相容的行为。

极限定律

一旦若干基本极限已知，notes 便教你如何由旧极限组合出新极限。

定理

极限定律

若 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 且 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ ，则：

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$ ；
$\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=LM$ ；
若 $M\ne 0$ ，则

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.

加法定律最能展示思路：把总误差 $\varepsilon$ 分成两半，再用 triangle inequality，

|f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|.

乘法定律则多一步，要先证明 |f(x)| 在 a 附近是有界的。

例题

利用加法定律

notes 考虑 $f(x)=2x+1$ 与 $g(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=4$ 附近。若已知

\lim_{x\to 4}(2x+1)=9, \qquad \lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2,

那么加法定律立即给出

\lim_{x\to 4}\bigl((2x+1)+\sqrt{x}\bigr)=9+2=11.

序列判别：用序列刻画函数极限

Theorem 3 把函数极限再度连回序列极限。

定理

函数极限的 sequential characterization

设 $f:I\setminus\{a\}\to R$ 。则

\lim_{x\to a}f(x)=L

当且仅当对每个满足 $x_n\in I\setminus\{a\}$ 且 $x_n\to a$ 的序列 $(x_n)$ ，都有

\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L.

这个定理非常实用，因为它提供了两种方法：

若要证明极限存在，就检查所有逼近 a 的序列；
若要证明极限不存在，只要找两条逼近 a 的序列，令函数值出现互不相容的极限即可。

Example 25 正是这样重新处理 $f(x)=\\sin(1/x)$ 。

例题

用两条序列证明 $\\sin(1/x)$ 在 `0` 没有极限

取

x_n=\frac{1}{2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{2\pi n+\pi/2}.

则 $x_n\to 0$ 且 $y_n\to 0$ ，但

f(x_n)=\sin(2\pi n)=0\to 0,

而

f(y_n)=\sin(2\pi n+\pi/2)=1\to 1.

由于两条同样逼近 0 的序列给出不同的函数值极限，所以 $\lim_{x\to 0}\\sin(1/x)$ 不存在。

连续性

极限最重要的用途之一，就是把“函数是连续的”这个直觉说得精确。

定义

一点的连续性

设 $f:I\to R$ 且 $a\in I$ 。若

\lim_{x\to a}f(x)=f(a),

则称 f 在 a 连续。

等价地，用 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言可写成：

\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\text{ 使得 } |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.

请留意：这次条件里不再有 $0<|x-a|$ 。因为连续性真的会检查 $x=a$ 时的函数值。

一个标准不连续例子是

f(x)= \begin{cases} 0,& x\ne 0,\\ 1,& x=0. \end{cases}

这里 x 在 0 附近时的函数值都接近 0，但 $f(0)=1$ ，所以它在 0 不连续。

常见错误

有极限不代表自动连续

hole 那个例子已经说明：一个函数可以在 a 有极限，但在 a 未定义。连续性还要多加一个条件，就是函数值存在并且等于那个极限。

快速检查

为什么函数极限定义要写成 $0 < |x-a| < \delta$ ，而不是只写 $|x-a| < \delta$ ？

想一想在极限问题里，a 点本身是否一定重要。

解答

答案

快速检查

在证明 $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$ 时，对任意 epsilon 应选什么 delta？

利用 $|f(x)-7|=2|x-3|$ 。

解答

答案

快速检查

为什么 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 可以在 $x=2$ 有极限，虽然公式在那里未定义？

回想极限定义实际检查的是什么。

解答

答案

练习

快速检查

证明 $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2$ 。

先把 $|\sqrt{x}-2|$ 有理化，同时控制分母不要太小。

解答

引导解答

快速检查

用序列判别再证明一次 $\lim_{x\to 0}\\sin(1/x)$ 不存在。

你只需要两条精心选择的序列。

解答

引导解答

快速检查

若已知 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，要再加上什么条件，才可推出 f 在 a 连续？

直接对照极限与连续性的定义。

解答

5.3 Delta-epsilon 极限、极限定律与连续性

MATH1090：集合论

由序列极限走向函数极限

Open intervals 与 punctured domains

Open interval

正式的 delta-epsilon 定义

函数在一点的极限

函数极限定义不理会 a 点本身的值

第一个例子：lim⁡x→3(2x+1)=7\lim_{x\to 3}(2x+1)=7limx→3​(2x+1)=7

取 δ=ε/2\delta=\varepsilon/2δ=ε/2

另外两个基本例子

Constant functions

有一个 hole 的函数

用互动方式看清这个定义

用几何方式检查一次 delta-epsilon 蕴含

极限如何失败？

为什么 ∣x∣/x|x|/x∣x∣/x 在 0 没有极限

极限定律

极限定律

利用加法定律

序列判别：用序列刻画函数极限

函数极限的 sequential characterization

用两条序列证明 sin(1/x)\\sin(1/x)sin(1/x) 在 0 没有极限

连续性

一点的连续性

有极限不代表自动连续

快速检查

为什么函数极限定义要写成 0<∣x−a∣<δ0 < |x-a| < \delta0<∣x−a∣<δ，而不是只写 ∣x−a∣<δ|x-a| < \delta∣x−a∣<δ？

答案

在证明 lim⁡x→3(2x+1)=7\lim_{x\to 3}(2x+1)=7limx→3​(2x+1)=7 时，对任意 epsilon 应选什么 delta？

答案

为什么 x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}x−2x2−4​ 可以在 x=2x=2x=2 有极限，虽然公式在那里未定义？

答案

练习

证明 lim⁡x→4x=2\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2limx→4​x​=2。

引导解答

用序列判别再证明一次 lim⁡x→0sin(1/x)\lim_{x\to 0}\\sin(1/x)limx→0​sin(1/x) 不存在。

引导解答

若已知 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)limx→a​f(x) 存在，要再加上什么条件，才可推出 f 在 a 连续？

引导解答

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第一个例子： $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$

取 $\delta=\varepsilon/2$

为什么 $|x|/x$ 在 `0` 没有极限

用两条序列证明 $\\sin(1/x)$ 在 `0` 没有极限

为什么函数极限定义要写成 $0 < |x-a| < \delta$ ，而不是只写 $|x-a| < \delta$ ？

在证明 $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$ 时，对任意 epsilon 应选什么 delta？

为什么 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 可以在 $x=2$ 有极限，虽然公式在那里未定义？

证明 $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2$ 。

用序列判别再证明一次 $\lim_{x\to 0}\\sin(1/x)$ 不存在。

若已知 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，要再加上什么条件，才可推出 f 在 a 连续？