3.3 由等價類構造整數

自然數不足以處理所有代數問題。好簡單的方程

1 = x + 2

在 $N$ 之中就沒有解。若果我們想令減法可以有系統那麼做，就要建立一個比自然數更大的數系。

嚴格的構造不是單靠直覺去「引入負數」，而是由我們已經理解的對象，即自然數有序對，去形式化地構造整數。

指導思想

一個對子 (a,b) 可以視為形式差值

a-b.

照住這個觀點，許多不同對子都可能代表同一個整數。例如

(3,1), \quad (5,3), \quad (8,6)

都自然地指向同一個差值 2。

所以整數不應該是某一個有序對本身，而應該是「所有代表同一差值的對子」所形成的等價類。

$N^2$ 上的關係

定義

定義整數的等價關係

在 $N^2$ ，即自然數有序對集合之中工作。

定義關係 $\sim_Z$ 為

(a,b) \sim_Z (c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a+d=b+c.

整數就定義為這條關係之下的等價類。

條件 $a+d=b+c$ 正好反映咗 (a,b) 同 (c,d) 代表同一個形式差值：

a-b=c-d.

將上式移項，就是 $a+d=b+c$ 。

為甚麼這條關係是對的

定理

這條關係確實是等價關係

$N^2$ 上的關係 $\sim_Z$ 是自反、對稱同傳遞，因此它是一條等價關係。

這個證明不算難，但值得理解，因為它解釋咗為甚麼 quotient construction 行得通。

證明

為甚麼 $\sim_Z$ 是等價關係

整數而家究竟是甚麼

定義

整數作為商集

令 $X=N^2$ 。整數集合定義為

\mathbf{Z} = X/{\sim_Z}.

對每個 $(a,b) \in N^2$ ，它的等價類記作

[(a,b)] = \{(c,d)\in N^2 : (c,d)\sim_Z(a,b)\}.

因此，一個整數不是一個對子，而是一整個等價類。

熟悉的整數就在這個構造之中重新出現：

[(0,0)] 表現得像 0；
[(1,0)] 表現得像 1；
[(0,1)] 表現得像 $-1$ ；
一般而言，[(n,0)] 對應我們熟悉的自然數 n。

如何把 $N$ 嵌入 $Z$

自然數並沒有消失，而是以一種新方式出現在整數之中。

例題

自然數如何嵌入整數

定義一個映射 $N \to Z$ ：

n \longmapsto [(n,0)].

那麼就有

0 \mapsto [(0,0)], \qquad 1 \mapsto [(1,0)], \qquad 2 \mapsto [(2,0)].

所以舊有自然數系統會以某些特定等價類的形式，完整地出現在新系統之中。

這個現象顯示 quotient construction 不是摧毀舊數系，而是保留住一個可識別的拷貝，再把範圍擴大。

正、負與零

需要強調的是，正負零不是貼在某一個代表元身上，而是整個等價類的性質。

若一個類有代表元 (a,b) 滿足 $a>b$ ，就視為正；
若有代表元滿足 $a<b$ ，就視為負；
若有代表元滿足 $a=b$ ，就視為零。

因為這些性質不可以隨代表元改變，所以亦要證明符號是 well-defined。

等價類上的運算

要令商集真正成為數系，還需要定義運算。加法定義為

[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].

這個定義同形式差值的直覺完全一致：

(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d).

之後關鍵一步就是檢查這類定義是 well-defined，亦即不會因為你換咗代表元而改變答案。

一個具體計算

例題

同一個整數可以有許多代表元

考慮等價類 [(2,5)]。

因為

2+4 = 5+1,

所以

(2,5)\sim_Z(1,4).

同樣地，

2+7 = 5+4,

所以

(2,5)\sim_Z(4,7).

以上對子都代表同一個整數；按通常記法，它就是 $-3$ 。

互動檢查：更換代表元

到這一步，直接測試定義會很有幫助。下面的面板會固定同一個整數等價類，讓你改變代表元，並檢查另一個對子是否屬於同一類。

邊讀邊試

探索同一個整數的代表元

這個探索器展示在同一個整數等價類中更換代表元時，形式差值如何保持不變。

已選代表元

(2, 5)

形式差值: 2 - 5 = -3

平移後代表元

(2, 5) -> (5, 8)

5 - 8 = -3

測試另一個對子

(4, 7)

形式差值: 4 - 7 = -3

等價測試

2 + 7 = 5 + 4

同一等價類

等價類的符號: 負

要記住的重點是： $Z$ 裡的相等不是有序對逐個坐標相等，而是等價類相等。兩個外表很不同的對子，只要滿足交叉和條件 $a+d=b+c$ ，就可以是同一個整數。

減法與乘法

同一個商集觀點也給出有符號整數的日常運算公式。因為 [(a,b)] 表示形式差值 $a-b$ ，所以減法應定義為

[(a,b)]-[(c,d)] := [(a+d,b+c)].

這同形式計算一致：

(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c).

乘法要稍為小心，因為符號會互相作用：

(a-b)(c-d)=ac+bd-(ad+bc).

因此乘法定義為

[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].

定理

乘法公式必須是良定的

若 $(a,b)\sim_Z(a',b')$ 且 $(c,d)\sim_Z(c',d')$ ，則

(ac+bd,ad+bc)\sim_Z(a'c'+b'd',a'd'+b'c').

所以乘積的等價類不會依賴所選代表元。

證明

良定性檢查的書寫結構

常見錯誤

整數不是那個對子本身

(a,b) 只是一個代表元。真正的整數是整個等價類 [(a,b)]。

常見錯誤

不與代表元未必代表不同整數

例如 (3,1) 同 (5,3) 並不是兩個不同整數。因為它們屬於同一個等價類，所以其實代表同一個差值。

快問快答

快速檢查

在 $\sim_Z$ 下，`(2,0)` 同 `(5,3)` 是否等價？

直接代入 $a+d=b+c$ 這條規則。

解答

答案

快速檢查

邊個等價類應該代表整數 $-1$ ？

用「對子表示形式差值」這個想法回答。

解答

答案

快速檢查

為甚麼我們不可以直接把有序對視為整數，而一定要取等價類？

用一句完整句子回答。

解答

答案

練習

快速檢查

證明 $[(4,1)] = [(7,4)]$ ，並判斷這個等價類是正、負，定是零。

先檢查等價，再由代表元讀出符號。

解答

引導解答

快速檢查

用減法公式計算 $[(5,1)]-[(2,4)]$ 。結果代表哪個普通整數？

套用 $[(a,b)]-[(c,d)] = [(a+d,b+c)]$ ，再讀出形式差值。

解答

引導解答

快速檢查

用整數乘法的商集公式計算 $[(3,1)]\cdot[(2,5)]$ 。

使用 $[(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)]$ 。

解答

引導解答

建議先讀

這一節依賴 2.2 函數與關係之中的等價關係語言，並且會接到 3.4 有理數與良定運算。

3.3 由等價類構造整數

MATH1090：集合論

指導思想

N2N^2N2 上的關係

定義整數的等價關係

為甚麼這條關係是對的

這條關係確實是等價關係

為甚麼 ∼Z\sim_Z∼Z​ 是等價關係

整數而家究竟是甚麼

整數作為商集

如何把 NNN 嵌入 ZZZ

自然數如何嵌入整數

正、負與零

等價類上的運算

一個具體計算

同一個整數可以有許多代表元

互動檢查：更換代表元

探索同一個整數的代表元

減法與乘法

乘法公式必須是良定的

良定性檢查的書寫結構

常見錯誤

整數不是那個對子本身

不與代表元未必代表不同整數

快問快答

在 ∼Z\sim_Z∼Z​ 下，(2,0) 同 (5,3) 是否等價？

答案

邊個等價類應該代表整數 −1-1−1？

答案

為甚麼我們不可以直接把有序對視為整數，而一定要取等價類？

答案

練習

證明 [(4,1)]=[(7,4)][(4,1)] = [(7,4)][(4,1)]=[(7,4)]，並判斷這個等價類是正、負，定是零。

引導解答

用減法公式計算 [(5,1)]−[(2,4)][(5,1)]-[(2,4)][(5,1)]−[(2,4)]。結果代表哪個普通整數？

引導解答

用整數乘法的商集公式計算 [(3,1)]⋅[(2,5)][(3,1)]\cdot[(2,5)][(3,1)]⋅[(2,5)]。

引導解答

建議先讀

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在 $\sim_Z$ 下，`(2,0)` 同 `(5,3)` 是否等價？

邊個等價類應該代表整數 $-1$ ？

證明 $[(4,1)] = [(7,4)]$ ，並判斷這個等價類是正、負，定是零。

用減法公式計算 $[(5,1)]-[(2,4)]$ 。結果代表哪個普通整數？

用整數乘法的商集公式計算 $[(3,1)]\cdot[(2,5)]$ 。