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1.1 方程结构与三角恒等式

以弧度制、单位圆定义与恒等式族，审慎处理三角方程。

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MATH1025：预备数学

预备数学笔记。

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12 节

为什么这章重要

本章重点不是背公式，而是理解结构。三角学中，同一个式子可以有 多种改写方式，但每种改写只在某些意义下有效：

  • 有些步骤完全保留解集；
  • 有些步骤只会产生候选解；
  • 有些步骤必须先检查定义域才可以做。

因此，你要学会把三角式看成同时带有几何、对称与代数结构的对象。

弧度制与标准位置

定义

弧度制

若一个角在半径为 r 的圆上所对应的弧长为 s，则其弧度值为

θ=sr.\theta = \frac{s}{r}.

当 r=1r=1 时，弧度值就等于单位圆上的弧长。这就是为什么弧度制是 三角学与微积分最自然的角度单位。

既然一圈完整转动是 2π2\pi 弧度或 360∘360^\circ，所以

π radians=180∘,\pi \text{ radians} = 180^\circ,

因此

1 radian=180π∘,1∘=π180 radians.1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi}^\circ, \qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radians}.

定义

标准位置的角

在 xy 平面上，若角的顶点位于原点，且初始射线沿正 x 轴，则该 角称为标准位置角。

  • 逆时针转动为正；
  • 顺时针转动为负。

本章其后所有角，除非题目特别声明，均以弧度为单位。

例题

角度与弧度转换

150∘150^\circ 可以转成

150∘=150⋅π180=5π6.150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}.

同样地，−45∘=−π/4-45^\circ = -\pi/4。

弧长与扇形面积

由弧度制的定义可直接得到两个常用公式：

s=rθ,A=12r2θ.s = r\theta, \qquad A = \frac{1}{2}r^2\theta.

这两个公式不是额外要背的东西，而是同一个角度概念在长度与面积上 的翻译。

单位圆上的三角函数

定义

三角函数

把角 theta\\theta 放在半径为 r 的圆上，令终边与圆相交于 P(x,y)。 则

sin⁡θ=yr,cos⁡θ=xr,tan⁡θ=yx,\sin\theta = \frac{y}{r}, \qquad \cos\theta = \frac{x}{r}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x},

以及

csc⁡θ=ry,sec⁡θ=rx,cot⁡θ=xy.\csc\theta = \frac{r}{y}, \qquad \sec\theta = \frac{r}{x}, \qquad \cot\theta = \frac{x}{y}.

在单位圆上，r=1r=1，所以正弦和余弦直接变成坐标的 y、x 分量。 这就是单位圆之所以重要的几何原因：它把三角值变成坐标。

有些值会因为分母为零而不存在，例如 tan(π/2)tan(\pi/2) 不存在，因为 cos(π/2)=0\\cos(\pi/2)=0。

例题

单位圆上的精确值

在 0、π/6\pi/6、π/4\pi/4、π/3\pi/3 和 π/2\pi/2 的标准值如下：

theta\\thetasin⁡theta\sin\\thetacos⁡theta\cos\\thetatan⁡theta\tan\\theta
0010
π/6\pi/61/21/23/2\sqrt3/21/31/\sqrt3
π/4\pi/42/2\sqrt2/22/2\sqrt2/21
π/3\pi/33/2\sqrt3/21/21/23\sqrt3
π/2\pi/210undefined

这些数值是后面所有公式与练习的基础。

常见错误

不要把角度制当作默认

题目若写 π/3\pi/3，就表示弧度，不是角度。在本课中，60∘60^\circ 和 π/3\pi/3 只是同一个角用不同单位表示。

对称与周期

单位圆立即给出基本对称关系：

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ,cos⁡(−θ)=cos⁡θ,tan⁡(−θ)=−tan⁡θ.\sin(-\theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta.

关于 y 轴与原点的对称，也会导出 π−theta\pi-\\theta、π+theta\pi+\\theta 和 2π+theta2\pi+\\theta 等常见角度变换。

定理

三角函数的周期性

sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ,cos⁡(θ+2π)=cos⁡θ,\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, \qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,sec⁡(θ+2π)=sec⁡θ,csc⁡(θ+2π)=csc⁡θ,\sec(\theta+2\pi)=\sec\theta, \qquad \csc(\theta+2\pi)=\csc\theta,tan⁡(θ+π)=tan⁡θ,cot⁡(θ+π)=cot⁡θ.\tan(\theta+\pi)=\tan\theta, \qquad \cot(\theta+\pi)=\cot\theta.

周期性不只是缩角技巧，而是告诉你每一个函数究竟由圆上的哪一段 结构所控制。

例题

利用对称性简化数值

因为 sin(−theta)=−sin⁡theta\\sin(-\\theta)=-\sin\\theta，所以

sin⁡(−π/6)=−sin⁡(π/6)=−12.\sin(-\pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac12.

因为 cos(−theta)=cos⁡theta\\cos(-\\theta)=\cos\\theta，所以

cos⁡(−π/6)=cos⁡(π/6)=32.\cos(-\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt3}{2}.

基本恒等式

定理

毕氏恒等式

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1,1+tan⁡2θ=sec⁡2θ,1+cot⁡2θ=csc⁡2θ.\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \qquad 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta, \qquad 1+\cot^2\theta = \csc^2\theta.

第一条就是单位圆上的坐标关系 x2+y2=1x^2+y^2=1。后两条则是在 cos⁡theta\cos\\theta 或 sin⁡theta\sin\\theta 不为零时，把第一条除下去得到的。

例题

由一条恒等式推出另一条

从

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

两边同除以 cos⁡2theta\cos^2\\theta，便得

tan⁡2θ+1=sec⁡2θ.\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta.

这一步只在 cos⁡theta≠0\cos\\theta \neq 0 的地方合法。

常见错误

不要在未检查分母时直接除法

若某一步要除以 sin⁡theta\sin\\theta 或 cos⁡theta\cos\\theta，就必须先确认该量不为 零。否则恒等式可能在某些角度失效。

和角与差角公式

和角公式是本章的主力工具。它们把角度的加减转成代数运算。

证明

为什么余弦差角公式是关键一步

定理

和角与差角公式

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\betatan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

这些公式几乎解释了你之后会遇到的大部分角度代换。

例题

从余弦公式推出正弦公式

若你已知

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β,\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,

把 α\alpha 改成 π/2−α\pi/2-\alpha、把 β\beta 改成 −β-\beta，便得到

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β.\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.

其余加角和减角公式也可用同样思路推出。

倍角、积化和差与和差化积

定理

倍角公式

sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alphacos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1 =1-2\sin^2\alphatan⁡(2α)=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

这些公式其实就是把和角公式中两个角都取成同一个角。

定理

积化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\cos\alpha\sin\beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr)sin⁡αsin⁡β=−12(cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β))\sin\alpha\sin\beta=-\frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr)cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr)

定理

和差化积公式

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\cos A+\cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

两个完整例子

例题

把线性组合写成单一正弦

把 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt3\cos x - \sin x 写成 rsin(x+α)r\\sin(x+\alpha) 的形式。

先写

rsin⁡(x+α)=rsin⁡xcos⁡α+rcos⁡xsin⁡α.r\sin(x+\alpha)=r\sin x\cos\alpha+r\cos x\sin\alpha.

比较系数可得

rsin⁡α=3,rcos⁡α=−1.r\sin\alpha=\sqrt3, \qquad r\cos\alpha=-1.

因此 r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2，可取 α=2π/3\alpha=2\pi/3。于是

3cos⁡x−sin⁡x=2sin⁡ ⁣(x+2π3).\sqrt3\cos x-\sin x = 2\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right).

若进一步解 3cos⁡x−sin⁡x=1\sqrt3\cos x-\sin x=1，便有

2sin⁡ ⁣(x+2π3)=1,2\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=1,

即

sin⁡ ⁣(x+2π3)=12.\sin\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12.

因此

x+2π3=π6+2kπorx+2π3=5π6+2kπ,x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{or}\quad x+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,

所以

x=−π2+2kπorx=−π6+2kπ,k∈Z.x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\text{or}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in Z.

例题

一个紧凑的代数恒等式

证明

cos⁡4θ+sin⁡4θ=1+cos⁡2(2θ)2=3+cos⁡(4θ)4.\cos^4\theta+\sin^4\theta=\frac{1+\cos^2(2\theta)}{2} =\frac{3+\cos(4\theta)}{4}.

从

(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2=1(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2=1

展开开始：

sin⁡4θ+cos⁡4θ+2sin⁡2θcos⁡2θ=1.\sin^4\theta+\cos^4\theta+2\sin^2\theta\cos^2\theta=1.

所以

sin⁡4θ+cos⁡4θ=1−2sin⁡2θcos⁡2θ.\sin^4\theta+\cos^4\theta =1-2\sin^2\theta\cos^2\theta.

再用 sin(2theta)=2sin⁡thetacos⁡theta\\sin(2\\theta)=2\sin\\theta\cos\\theta，可得

sin⁡2θcos⁡2θ=14sin⁡2(2θ).\sin^2\theta\cos^2\theta=\frac14\sin^2(2\theta).

最后把 sin⁡2(2theta)\sin^2(2\\theta) 改写成 1−cos⁡2(2theta)1-\cos^2(2\\theta)，或使用 cos(4theta)=1−2sin⁡2(2theta)\\cos(4\\theta)=1-2\sin^2(2\\theta)，便得到题目要求的形式。

常见错误

验根不能省略

使用恒等式解三角方程之后，一定要把候选解代回原式检查。变形过程 中可能会引入多余解，或者隐藏定义域限制。

快速检查

快速检查

把 210∘210^\circ 转成弧度。

用度数与弧度的转换公式。

解答

答案

快速检查

sin(−theta)\\sin(-\\theta)、cos(−theta)\\cos(-\\theta)、tan⁡(−theta)\tan(-\\theta) 分别是什么？

用单位圆对称性回答。

解答

答案

快速检查

为什么 tan⁡(π/2)\tan(\pi/2) 会没有定义？

看看定义中的分母。

解答

答案

快速检查

说出从 sin⁡2theta+cos⁡2theta=1\sin^2\\theta+\cos^2\\theta=1 推到 1+tan⁡2theta=sec⁡2theta1+\tan^2\\theta=\sec^2\\theta 的步骤。

把除法条件讲清楚。

解答

答案

练习

  1. 把 330∘330^\circ 转成弧度，并计算 sin(330∘)\\sin(330^\circ) 与 cos(330∘)\\cos(330^\circ)。
  2. 用周期性公式化简 tan⁡(theta+π)\tan(\\theta+\pi)。
  3. 由毕氏恒等式证明 1+tan⁡2theta=sec⁡2theta1+\tan^2\\theta=\sec^2\\theta。
  4. 把 3cos⁡x−sin⁡x\sqrt3\cos x-\sin x 写成 rsin(x+α)r\\sin(x+\alpha)，再解 3cos⁡x−sin⁡x=1\sqrt3\cos x-\sin x = 1。
  5. 证明 cos⁡4theta+sin⁡4theta=(3+cos⁡4theta)/4\cos^4\\theta+\sin^4\\theta = (3+\cos 4\\theta)/4。

这些练习的目的不是求快，而是让你能把恒等式当成可以推导、可以 解释、也可以重用的工具。

先备知识

0.1

0.1 课程基础与记号

本单元重点词汇

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