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0.1 课程基础与记号

建立 MATH1025 全课共用的记号、语言与代数纪律。

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MATH1025：预备数学

预备数学笔记。

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12 节

为什么这章先行

数学方法课最先要学的不是技巧，而是语言。若记号含糊，后面的所有 代数变形都难以核对：你无法清楚知道自己在假设什么、在证明什么， 或者某一步是否真的保留了解集。

这一章主要做三件事：

  • 统一基本集合记号；
  • 引入后面每一份证明都会出现的逻辑符号；
  • 说明什么是合法变形，什么是会改变题目的步骤。

集合与属元

定义

集合

集合是由不同对象组成的收集。集合内的对象称为元素或属元。

若 x 是集合 AA 的元素，我们写作 x∈Ax \in A。若 x 不是 AA 的 元素，则写作 x∉Ax \notin A。

集合属元是这门课最小而重要的语言单位。你一旦能精确写出属元关系， 就能精确写出子集、定义域、值域和解集。

定义

子集与集合相等

设 AA、BB 为集合。

  • A⊆BA \subseteq B 表示 AA 的每一个元素也属于 BB。
  • A=BA = B 表示 AA 与 BB 拥有完全相同的元素。

等价地，A=BA = B 当且仅当 A⊆BA \subseteq B 且 B⊆AB \subseteq A。

这个等价关系非常重要。要证明两个集合相等，通常最稳妥的方法是分 别证明两个包含关系。

例题

同一个集合的两种写法

正偶整数可以写成

{2m:m∈Z+}\{2m : m \in Z^+\}

或者写成

{n∈Z+:n=2m for some m∈Z+}.\{n \in Z^+ : n = 2m \text{ for some } m \in Z^+\}.

前者强调规律，后者强调定义元素的性质。

集合构造式与常见集合

课堂常用的集合构造式是

{x∈S:P(x)}\{x \in S : P(x)\}

意思是：在集合 SS 中，所有满足性质 P(x) 的元素 x 组成的 集合。

这不只是缩写，而是在清楚交代三件事：

  • 元素从哪个母集合中取；
  • 需要满足什么条件；
  • 条件是否是在更大的集合背景下施加。

定义

常见数集

  • N:={0,1,2,3,… }N := \{0,1,2,3,\dots\} 是自然数集。
  • Z:={…,−2,−1,0,1,2,… }Z := \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} 是整数集。
  • Z+:={1,2,3,… }Z^+ := \{1,2,3,\dots\} 是正整数集。
  • Q:={p/q:p,q∈Z,q≠0}Q := \{p/q : p,q \in Z, q \neq 0\} 是有理数集。
  • RR 是实数集。

记号 :=:= 表示“定义为”。当左边的符号是正在被引入，而不是单纯 被陈述时，就会用这个记号。

例题

由性质改写成区间

集合

{x∈R:x2>1}\{x \in R : x^2 > 1\}

等同于

(−∞,−1)∪(1,∞).(-\infty,-1) \cup (1,\infty).

原因是 x2>1x^2 > 1 等价于 ∣x∣>1|x| > 1，所以 x 必定落在闭区间 [−1,1][-1,1] 外面。

常见错误

不要把集合减号与除号混淆

写 R∖{2}R \setminus \{2\} 才表示“除了 2 以外的所有实数”。 R \2 不是合法记号，因为 2 不是集合。

集合运算与区间记号

定义

交集、并集与差集

设 AA、BB 为集合。

  • A∩BA \cap B 是同时属于两个集合的元素；
  • A∪BA \cup B 是属于至少一个集合的元素；
  • A∖BA \setminus B 是属于 AA 但不属于 BB 的元素。

这些运算会不断出现在解集描述、定义域判断，以及分情况讨论之中。

区间记号是实数集 RR 的简写：

  • [a,b]={x∈R:a≤x≤b}[a,b] = \{x \in R : a \le x \le b\};
  • (a,b)={x∈R:a<x<b}(a,b) = \{x \in R : a < x < b\};
  • (a,b]={x∈R:a<x≤b}(a,b] = \{x \in R : a < x \le b\};
  • [a,∞)={x∈R:a≤x}[a,\infty) = \{x \in R : a \le x\}。

方括号代表端点包含在内；圆括号代表端点不包含在内。

例题

同一个集合的三种描述

所有平方大于 1 的实数可以写成

{x∈R:x2>1}=(−∞,−1)∪(1,∞)=R∖[−1,1].\{x \in R : x^2 > 1\} = (-\infty,-1) \cup (1,\infty) = R \setminus [-1,1].

三种写法都正确，只是侧重点不同。

逻辑符号与量词

课堂会反复用到以下逻辑符号：

  • ∀\forall 表示“对所有”或“任意”；
  • ∃\exists 表示“存在至少一个”；
  • ∃!\exists ! 表示“存在唯一一个”；
  • ⇒\Rightarrow 表示“推出”；
  • ⇔\Leftrightarrow 表示“当且仅当”。

定义

完整数学陈述

一个严谨的数学陈述应清楚交代：

  • 变量的定义域；
  • 使用了什么运算；
  • 要宣称什么结论。

量词次序非常重要。以下两句不是同一回事：

∀x∈Z,∃y∈Z,x+y=0\forall x \in Z, \exists y \in Z, x+y=0

以及

∃y∈Z,∀x∈Z,x+y=0.\exists y \in Z, \forall x \in Z, x+y=0.

前者是真的：对每个整数 x，都可以取 y=−xy=-x。后者是假的： 不存在一个固定整数 y 能一次抵消所有整数 x。

例题

仔细阅读量词

语句

∃!x∈R such that x2−2x+1=0\exists ! x \in R \text{ such that } x^2 - 2x + 1 = 0

表示方程在实数范围内有且只有一个解。因为

x2−2x+1=(x−1)2,x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2,

唯一解就是 x=1x=1。

常见错误

不要随便交换量词次序

∀x∃y\forall x \exists y 与 ∃y∀x\exists y \forall x 往往意思完全不同。 一旦交换次序，陈述本身通常就改变了。

函数、定义域、陪域与值域

定义

函数

函数是一条规则，它把定义域中的每一个元素都对应到陪域中的唯一一 个元素。

若 b=f(a)b = f(a)，则 b 是 f 在 a 处的值，或者说 a 在 f 下的 像。函数的值域 range(f) 是实际出现的输出所组成的集合。

定义域不是装饰，而是规则真正适用的地方；陪域则是允许输出所在的 范围。值域是陪域中真正被函数取到的部分。

例题

同一公式，不同值域

考虑 f(x)=x2f(x)=x^2。

  • 若 f:R→Rf : R \to R，则 range(f)=[0,∞)range(f) = [0,\infty)；
  • 若 f:Z+→Z+f : Z^+ \to Z^+，则 range(f) 是正整数中的完全平方数集合。

公式相同，但定义域不同，函数的意思就不同。

常见错误

值域不一定等于陪域

若函数写成 f:A→Bf : A \to B，其中 BB 是陪域，不一定是值域。除非函数 是满射，否则值域通常比陪域小。

基本变形规则

有些步骤会完全保留方程；有些步骤则只在额外条件下才合法。

定义

等价变形与依赖定义域的步骤

  • 等价变形：两边同加或同减一个量、乘上一个非零常数、或以等价 表达式替换。
  • 依赖定义域的步骤：把含未知式的量除掉、两边平方、开平方、或 在未检查条件下使用反函数。

这门课最重要的习惯很简单：每次变形后，都要问自己新陈述是否与 原陈述有完全相同的解集。

这也是本课一直重复提到 domain、legal、equivalent 和 verify 的原因。

方程、恒等式与条件

早期记号之所以重要，其中一个原因是：方程和恒等式要求你做的工作其实不同。

定义

方程与恒等式

方程 是要你找出在指定定义域内，使两边相等的变量值。

恒等式 则是声称：在指定定义域内，每一个值都会让两边相等。

例如

(x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1) = x^2 - 1

是 RR 上的恒等式，因为每个实数 x 都让两边相同。

但

x2−1=0x^2 - 1 = 0

就是方程。这句话不是对所有 x 都真，而是要找出使它成立的 x， 即 x=1x = 1 或 x=−1x = -1。

这个区别正好解释了为什么本课一直强调“保留解集”。解方程时，每一步合法 变形都要保留同一批解；验证恒等式时，则要确保每一步都对整个定义域有效。

绝对值与距离记号

绝对值也是早期最需要记号纪律的地方之一。

定义

绝对值

对任意实数 x，

∣x∣={x,x≥0,−x,x<0.|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}

所以 |x| 可以理解成 x 与 0 在数轴上的距离。

更一般地，∣a−b∣|a-b| 表示 a 与 b 之间的距离。因此绝对值不等式通常 可以直接改写成区间。

例题

把绝对值不等式改写成区间

解

∣x−3∣<2|x-3| < 2

这句话表示 x 与 3 的距离小于 2，所以 x 必须落在 3 左右 各 2 个单位之内。于是得到

1<x<51 < x < 5

用区间记号写，解集就是 (1,5)。

进入计算前的简短检查表

开始任何计算前，先确认以下问题：

  • 变量的定义域是什么？
  • 每一步运算在该定义域内是否合法？
  • 你现在是在解方程、证恒等式，还是在描述一个集合？
  • 若你分情况讨论，是否已完整覆盖所有情况？

快速检查

快速检查

为什么未先声明 x≠0x \neq 0 就不能直接把方程两边除以 x？

同时从合法性与解集等价两方面思考。

解答

答案

快速检查

哪个记号表示 AA 和 BB 拥有相同元素：A⊆BA \subseteq B 还是 A=BA = B？

请用集合相等的定义回答。

解答

答案

快速检查

阅读语句：forallxinZ,existsyinZ,x+y=0\\forall x \\in Z, \\exists y \\in Z, x+y=0。用文字复述它的意思。

留意量词次序。

解答

答案

快速检查

若 f:RtoRf : R \\to R 且 f(x)=x2f(x)=x^2，它的值域是什么？

不要把值域和陪域混淆。

解答

答案

练习

  1. 把所有正奇整数写成集合构造式。
  2. 判断 {x∈R:x2≤4}\{x \in R : x^2 \le 4\} 是一个区间，还是两个区间的并集， 并把它明确写出。
  3. 解释为什么 ∃!x∈R\exists ! x \in R 比 ∃x∈R\exists x \in R 更强。
  4. 若 f(x)=1/(x−1)f(x)=1/(x-1)，并且 f:R∖{1}→Rf : R \setminus \{1\} \to R，请写出它的 定义域、陪域与值域。

上面的快速检查答案可以作为这门课对精确度的最低要求。

先备知识

这一节可以独立阅读。

本单元重点词汇

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1.1 方程结构与三角恒等式