为什么本章最后部分重要
多项式除法与 gcd 并不是孤立技巧。它们支撑两个在后续数学中经常出现的工具：
部分分式分解，以及根与系数之间的 Vieta 公式。前者需要除法算法、因式分解与互质；
后者需要多项式在 C C C
有理函数与多项式部分
定义
有理函数 有理函数是
p ( x ) q ( x ) \frac{p(x)}{q(x)} q ( x ) p ( x ) 的形式，其中 p ( x ) , q ( x ) ∈ R [ x ] p(x),q(x)\in R[x] p ( x ) , q ( x ) ∈ R [ x ] q ( x ) ≠ 0 q(x)\ne0 q ( x ) = 0
部分分式的第一步是先分离多项式部分。若 deg p ≥ deg q \deg p\ge\deg q deg p ≥ deg q
p ( x ) = q ( x ) b ( x ) + r ( x ) , deg r < deg q . p(x)=q(x)b(x)+r(x),\qquad \deg r\lt\deg q. p ( x ) = q ( x ) b ( x ) + r ( x ) , deg r < deg q . 因此
p ( x ) q ( x ) = b ( x ) + r ( x ) q ( x ) . \frac{p(x)}{q(x)}=b(x)+\frac{r(x)}{q(x)}. q ( x ) p ( x ) = b ( x ) + q ( x ) r ( x ) . 真正需要分解的是 proper rational function r ( x ) / q ( x ) r(x)/q(x) r ( x ) / q ( x )
分拆互质的分母因式
假设 q ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) q(x)=q_1(x)q_2(x) q ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) gcd ( q 1 , q 2 ) = 1 \gcd(q_1,q_2)=1 g cd( q 1 , q 2 ) = 1 a(x),b(x) 使
a ( x ) q 1 ( x ) + b ( x ) q 2 ( x ) = 1. a(x)q_1(x)+b(x)q_2(x)=1. a ( x ) q 1 ( x ) + b ( x ) q 2 ( x ) = 1. 乘以 r(x) 并除以 q 1 q 2 q_1q_2 q 1 q 2 r / q r/q r / q q 1 q_1 q 1 q 2 q_2 q 2
定理
R 上的部分分式形状 若分母可分解为
K ∏ i ( x − a i ) m i ∏ j ( x 2 + b j x + c j ) n j , K\prod_i(x-a_i)^{m_i}\prod_j(x^2+b_jx+c_j)^{n_j}, K i ∏ ( x − a i ) m i j ∏ ( x 2 + b j x + c j ) n j , 其中二次因式在 R R R
k ( x − a ) m , r x + s ( x 2 + b x + c ) n . \frac{k}{(x-a)^m},
\qquad
\frac{rx+s}{(x^2+bx+c)^n}. ( x − a ) m k , ( x 2 + b x + c ) n r x + s . 重复一次因式需要每个幂次一个常数分子：
A ( x ) ( x − a ) m = k 1 x − a + k 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + k m ( x − a ) m . \frac{A(x)}{(x-a)^m}
=\frac{k_1}{x-a}+\frac{k_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{k_m}{(x-a)^m}. ( x − a ) m A ( x ) = x − a k 1 + ( x − a ) 2 k 2 + ⋯ + ( x − a ) m k m . 重复不可约二次因式则需要一次分子：
B ( x ) ( x 2 + b x + c ) n = ∑ j = 1 n r j x + s j ( x 2 + b x + c ) j . \frac{B(x)}{(x^2+bx+c)^n}
=\sum_{j=1}^n\frac{r_jx+s_j}{(x^2+bx+c)^j}. ( x 2 + b x + c ) n B ( x ) = j = 1 ∑ n ( x 2 + b x + c ) j r j x + s j . 例题
建立一个部分分式分解 分解
x 4 + 2 x + 4 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 . \frac{x^4+2x+4}{2x^3-4x^2+3x-6}. 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 x 4 + 2 x + 4 . 先做除法：
x 4 + 2 x + 4 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 = 1 2 x + 1 + 5 2 x 2 + 2 x + 10 ( 2 x 2 + 3 ) ( x − 2 ) . \frac{x^4+2x+4}{2x^3-4x^2+3x-6}
=\frac12x+1+
\frac{\frac52x^2+2x+10}{(2x^2+3)(x-2)}. 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 x 4 + 2 x + 4 = 2 1 x + 1 + ( 2 x 2 + 3 ) ( x − 2 ) 2 5 x 2 + 2 x + 10 . 再设
5 2 x 2 + 2 x + 10 ( 2 x 2 + 3 ) ( x − 2 ) = A x + B 2 x 2 + 3 + C x − 2 . \frac{\frac52x^2+2x+10}{(2x^2+3)(x-2)}
=\frac{Ax+B}{2x^2+3}+\frac{C}{x-2}. ( 2 x 2 + 3 ) ( x − 2 ) 2 5 x 2 + 2 x + 10 = 2 x 2 + 3 A x + B + x − 2 C . 比较系数得
A = − 41 22 , B = − 19 11 , C = 24 11 . A=-\frac{41}{22},\qquad B=-\frac{19}{11},\qquad C=\frac{24}{11}. A = − 22 41 , B = − 11 19 , C = 11 24 . 所以
x 4 + 2 x + 4 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 = 1 2 x + 1 − 41 x + 38 22 ( 2 x 2 + 3 ) + 24 11 ( x − 2 ) . \frac{x^4+2x+4}{2x^3-4x^2+3x-6}
=\frac12x+1-\frac{41x+38}{22(2x^2+3)}
+\frac{24}{11(x-2)}. 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 6 x 4 + 2 x + 4 = 2 1 x + 1 − 22 ( 2 x 2 + 3 ) 41 x + 38 + 11 ( x − 2 ) 24 . 由部分分式得到 telescoping sum
投影片使用
x ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 3 ) = 1 16 ( 2 x − 1 ) + 1 8 ( 2 x + 1 ) − 3 16 ( 2 x + 3 ) . \frac{x}{(2x-1)(2x+1)(2x+3)}
=\frac{1}{16(2x-1)}+\frac{1}{8(2x+1)}
-\frac{3}{16(2x+3)}. ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 3 ) x = 16 ( 2 x − 1 ) 1 + 8 ( 2 x + 1 ) 1 − 16 ( 2 x + 3 ) 3 . 代入 x = k x=k x = k k = 1 k=1 k = 1 n，中间许多项会抵消，留下
∑ k = 1 n k ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) = 1 16 ( 2 − 1 2 n + 1 − 3 2 n + 3 ) . \sum_{k=1}^{n}
\frac{k}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}
=\frac1{16}\left(2-\frac1{2n+1}-\frac3{2n+3}\right). k = 1 ∑ n ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) k = 16 1 ( 2 − 2 n + 1 1 − 2 n + 3 3 ) . 方法上的重点是：先分解，再检查平移后的分母能否抵消。
Vieta 公式
设
p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ C [ x ] , a n ≠ 0. p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in C[x],
\qquad a_n\ne0. p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ C [ x ] , a n = 0. 由代数基本定理，
p ( x ) = a n ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α n ) , p(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n), p ( x ) = a n ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α n ) , 其中根按重数计算。
定理
Vieta 公式 对 j = 1 , 2 , … , n j=1,2,\ldots,n j = 1 , 2 , … , n
∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i j ≤ n α i 1 α i 2 ⋯ α i j = ( − 1 ) j a n − j a n . \sum_{1\le i_1\lt\cdots<i_j\le n}
\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_j}
=(-1)^j\frac{a_{n-j}}{a_n}. 1 ≤ i 1 < ⋯ < i j ≤ n ∑ α i 1 α i 2 ⋯ α i j = ( − 1 ) j a n a n − j . 对三次多项式 a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3
α 1 + α 2 + α 3 = − a 2 a 3 , \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=-\frac{a_2}{a_3}, α 1 + α 2 + α 3 = − a 3 a 2 , α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 = a 1 a 3 , \alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3=\frac{a_1}{a_3}, α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 = a 3 a 1 , α 1 α 2 α 3 = − a 0 a 3 . \alpha_1\alpha_2\alpha_3=-\frac{a_0}{a_3}. α 1 α 2 α 3 = − a 3 a 0 . 例题
三次方程根的幂和 设 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=0 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 S r = α 1 r + α 2 r + α 3 r S_r=\alpha_1^r+\alpha_2^r+\alpha_3^r S r = α 1 r + α 2 r + α 3 r
S 2 = ( α 1 + α 2 + α 3 ) 2 − 2 ( α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 ) = a 2 2 − 2 a 1 a 3 a 3 2 . S_2=(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^2
-2(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)
=\frac{a_2^2-2a_1a_3}{a_3^2}. S 2 = ( α 1 + α 2 + α 3 ) 2 − 2 ( α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 ) = a 3 2 a 2 2 − 2 a 1 a 3 . 同理可得
S 3 = − a 2 3 + 3 a 1 a 2 a 3 − 3 a 0 a 3 2 a 3 3 . S_3=
\frac{-a_2^3+3a_1a_2a_3-3a_0a_3^2}{a_3^3}. S 3 = a 3 3 − a 2 3 + 3 a 1 a 2 a 3 − 3 a 0 a 3 2 . 可选：Lagrange 插值观点
若
( x 1 , y 1 ) , … , ( x n + 1 , y n + 1 ) (x_1,y_1),\ldots,(x_{n+1},y_{n+1}) ( x 1 , y 1 ) , … , ( x n + 1 , y n + 1 ) 的 x i x_i x i n 的多项式通过这 n + 1 n+1 n + 1
L i ( x ) = ∏ j ≠ i x − x j x i − x j . L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}. L i ( x ) = j = i ∏ x i − x j x − x j . 则 L i ( x j ) = δ i j L_i(x_j)=\delta_{ij} L i ( x j ) = δ ij
f ( x ) = ∑ i = 1 n + 1 y i L i ( x ) f(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_iL_i(x) f ( x ) = i = 1 ∑ n + 1 y i L i ( x ) 具有所需函数值。唯一性来自根数上界：两个候选多项式的差至多 n 次，但有
n + 1 n+1 n + 1
证明思路
部分分式分解不是一张需要硬背的模板表。模板其实是三个较早事实的合成。第一，
除法算法先分离多项式部分；若分式不是 proper，就先写成一个多项式加上一个余式分式。
第二，互质分母因式可由 Bézout 恒等式分拆。若 q = q 1 q 2 q=q_1q_2 q = q 1 q 2 gcd ( q 1 , q 2 ) = 1 \gcd(q_1,q_2)=1 g cd( q 1 , q 2 ) = 1 a q 1 + b q 2 = 1 a q_1+b q_2=1 a q 1 + b q 2 = 1 q，便把分式分成分母为 q 1 q_1 q 1 q 2 q_2 q 2 ( x − a ) m (x-a)^m ( x − a ) m r x + s rx+s r x + s
Vieta 公式的证明则来自代数基本定理。当
p ( x ) = a n ∏ i = 1 n ( x − α i ) p(x)=a_n\prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_i) p ( x ) = a n ∏ i = 1 n ( x − α i )
例题
先读出部分分式形状 在 R R R
2 x 2 + 1 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 \frac{2x^2+1}{x^2(x^2+1)^2} x 2 ( x 2 + 1 ) 2 2 x 2 + 1 的正确部分分式形状。
x 2 x^2 x 2
A x + B x 2 . \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}. x A + x 2 B . x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 R R R
C x + D x 2 + 1 + E x + F ( x 2 + 1 ) 2 . \frac{Cx+D}{x^2+1}+\frac{Ex+F}{(x^2+1)^2}. x 2 + 1 C x + D + ( x 2 + 1 ) 2 E x + F . 完整形状是
A x + B x 2 + C x + D x 2 + 1 + E x + F ( x 2 + 1 ) 2 . \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}
+\frac{Cx+D}{x^2+1}
+\frac{Ex+F}{(x^2+1)^2}. x A + x 2 B + x 2 + 1 C x + D + ( x 2 + 1 ) 2 E x + F . 这一步只是在建立形状，尚未求 A,B,C,D,E,F。若形状漏了某个幂次或分子次数不对，
后面的系数比较就会失去意义。
例题
在正切综合题中使用 Vieta Exercise 8.3 把
tan 2 ( π / 9 ) , tan 2 ( 2 π / 9 ) , tan 2 ( 4 π / 9 ) \tan^2(\pi/9),\quad \tan^2(2\pi/9),\quad \tan^2(4\pi/9) tan 2 ( π /9 ) , tan 2 ( 2 π /9 ) , tan 2 ( 4 π /9 ) 化为 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 = 0 x^3-33x^2+27x-3=0 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 = 0 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 33，两两乘积和为 27，三根乘积为 3。因为三个正切值
都是正数，所以正切乘积是正的平方根：
tan ( π / 9 ) tan ( 2 π / 9 ) tan ( 4 π / 9 ) = 3 . \tan(\pi/9)\tan(2\pi/9)\tan(4\pi/9)=\sqrt3. tan ( π /9 ) tan ( 2 π /9 ) tan ( 4 π /9 ) = 3 . 若要求六次幂和，则把 α 1 3 + α 2 3 + α 3 3 \alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3 α 1 3 + α 2 3 + α 3 3
( α 1 + α 2 + α 3 ) 3 − 3 ( α 1 + α 2 + α 3 ) ( α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 ) + 3 α 1 α 2 α 3 . (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^3
-3(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_2\alpha_3)
+3\alpha_1\alpha_2\alpha_3. ( α 1 + α 2 + α 3 ) 3 − 3 ( α 1 + α 2 + α 3 ) ( α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 ) + 3 α 1 α 2 α 3 . 代入得 33 3 − 3 ( 33 ) ( 27 ) + 3 ( 3 ) = 33273 33^3-3(33)(27)+3(3)=33273 3 3 3 − 3 ( 33 ) ( 27 ) + 3 ( 3 ) = 33273
常见错误
常见错误
漏掉重复分母的幂次 对 ( x − 2 ) 4 (x-2)^4 ( x − 2 ) 4 ( x − 2 ) 4 (x-2)^4 ( x − 2 ) 4
常见错误
在不可约二次因式上只放常数分子 在 R R R x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 2，所以一般分子是 A x + B Ax+B A x + B
常见错误
把 Vieta 直接套到非对称式 Vieta 给的是根的对称和，不是每个根的个别值。处理幂和或三角乘积前，通常要先把
目标改写成对称和。
总结
本节把前两节的多项式工具串起来。除法分离多项式部分与 proper rational part；
Bézout 恒等式与互质解释为何不同分母因式可以分拆；重复幂次决定部分分式项的数量；
Vieta 公式则把复数根分解式与系数形式比较，让我们不用逐一求根也能计算根的和与积。
练习阅读指南
做部分分式时，先决定形状，再求系数。这可避免两种常见错误：漏掉重复幂次，或在
不可约二次因式上方只放常数分子。重复一次因式 ( x − a ) m (x-a)^m ( x − a ) m m 次的所有
分母幂次；重复不可约二次因式则每一层都要放一次分子。形状正确后，才清分母并比较
系数。
比较系数时，要按 x 的幂次整理。清分母后，把右边完全展开，分别比较最高次项、
二次项、一次项与常数项。表面上这是有理函数题，实际上求未知系数时就是一个线性方程
组。若先把每一个幂次的系数写清楚，计算会稳定很多。
telescoping sum 要等到分式分解后才会显现。原本的有理式通常看不出会抵消；分解成
平移的简单分式后，写出前几项与后几项，就能看到中间项如何消去，以及留下哪些边界
项。
做 Vieta 题时，先命名根，再列出 Vieta 给出的基本对称和。三次式中，通常是根和、
两两乘积和、三根乘积。若目标是幂和，就把幂和改写成这些对称和；若像正切题那样牵涉
平方后再开根，则要另外判断符号。可选的 Lagrange 插值则提醒我们：足够多的函数值
可以唯一决定低次多项式，这正是根数上界的另一种用法。
最后，每次分解或套用 Vieta 后都要说清楚自己证明了什么。部分分式等式只在原分母
非零处表示同一有理函数；Vieta 关系则是关于按重数计算的根。把这些条件保留在文字中，
才能避免公式被拿到不适用的地方。
快速检查
快速检查
为什么做部分分式前要先把 p(x) 除以 q(x)？ 快速检查
在 x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 快速检查
对 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 x^3-33x^2+27x-3 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 Exercises
写出 5 / ( x 2 + x − 6 ) 5/(x^2+x-6) 5/ ( x 2 + x − 6 )
写出 ( 2 x 2 + 1 ) / ( x 2 ( x 2 + 1 ) 2 ) (2x^2+1)/(x^2(x^2+1)^2) ( 2 x 2 + 1 ) / ( x 2 ( x 2 + 1 ) 2 )
将 x / ( ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 3 ) ) x/((2x-1)(2x+1)(2x+3)) x / (( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 3 ))
用第 3 题结果计算
∑ k = 1 n k / ( ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) ) \sum_{k=1}^n k/((2k-1)(2k+1)(2k+3)) ∑ k = 1 n k / (( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ))
若 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 x^3-33x^2+27x-3 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3
投影片 Exercise 8.3 中，若
tan 2 ( π / 9 ) \tan^2(\pi/9) tan 2 ( π /9 ) tan 2 ( 2 π / 9 ) \tan^2(2\pi/9) tan 2 ( 2 π /9 ) tan 2 ( 4 π / 9 ) \tan^2(4\pi/9) tan 2 ( 4 π /9 ) x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 x^3-33x^2+27x-3 x 3 − 33 x 2 + 27 x − 3 tan ( π / 9 ) tan ( 2 π / 9 ) tan ( 4 π / 9 ) \tan(\pi/9)\tan(2\pi/9)\tan(4\pi/9) tan ( π /9 ) tan ( 2 π /9 ) tan ( 4 π /9 )