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3.1 不等式与绝对值

通过保持不等号方向、追踪定义域，以及把绝对值理解为距离来解不等式。

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MATH1025：预备数学

预备数学笔记。

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12 节

不等式是有方向的陈述

方程记录相等，不等式记录大小次序。两者的代数规则相近，但有一个关键差异： 乘以正数会保持不等号方向，乘以负数会反转方向。

本章的主要训练，是判断哪些变形保留解集，哪些变形必须分情况处理。

基本次序规则

定理

实数次序规则

对实数 a,b,c：

  • a<ba<b, a=ba=b, a>ba>b 恰有一个成立；
  • 若 a<ba<b 且 b<cb<c，则 a<ca<c；
  • 若 a<ba<b，则 a+c<b+ca+c<b+c；
  • 若 a<ba<b 且 c>0c>0，则 ac<bcac<bc；
  • 若 a<ba<b 且 c<0c<0，则 ac>bcac>bc。

最后两条解释了为什么不能随意把不等式两边乘以 x−1x-1：它的符号取决于 x。

例题

由平方得到不等式

设 x,y>0x,y>0。证明

xy+yx≥2.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

因为 (x−y)2≥0(x-y)^2\ge 0，所以

x2−2xy+y2≥0,x^2-2xy+y^2\ge 0,

因此

x2+y2≥2xy.x^2+y^2\ge 2xy.

又因为 xy>0xy>0，除以 xy 会保持不等号方向：

x2+y2xy≥2.\frac{x^2+y^2}{xy}\ge 2.

即

xy+yx≥2.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

等号成立当且仅当 x=yx=y。

这类证明常从一个显然非负的量开始，再整理成目标不等式。

有理不等式

常见错误

不要乘以符号未知的式子

不等式

x+1x−1≤2\frac{x+1}{x-1}\le 2

不能直接乘以 x−1x-1，因为 x>1x>1 时它为正，x<1x<1 时它为负，而 x=1x=1 时 原式没有定义。

可靠方法包括：

  • 按分母符号分情况；
  • 排除零点后乘以平方；
  • 全部移到同一边，再用符号表。

例题

解有理不等式

解

x+1x−1≤2.\frac{x+1}{x-1}\le 2.

原式在 x=1x=1 没有定义。先移到同一边：

x+1x−1−2≤0.\frac{x+1}{x-1}-2\le 0.

化简得

x+1−2x+2x−1≤0,3−xx−1≤0.\frac{x+1-2x+2}{x-1}\le 0, \qquad \frac{3-x}{x-1}\le 0.

等价于

x−3x−1≥0.\frac{x-3}{x-1}\ge 0.

临界点是 1 和 3。符号表显示分式在 (−∞,1)(-\infty,1) 和 [3,∞)[3,\infty) 为 非负，但 x=1x=1 必须排除。因此解集为

x<1或x≥3.x<1 \quad\text{或}\quad x\ge 3.

绝对值作为距离

定义

绝对值

对实数 a，

∣a∣={a,a≥0,−a,a<0.|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases}

几何上，|a| 是数轴上 a 到 0 的距离。

因此绝对值永远非负，而且

∣a∣=a2.|a|=\sqrt{a^2}.

定理

常用绝对值事实

对实数 a,b，

∣−a∣=∣a∣,∣ab∣=∣a∣∣b∣,−∣a∣≤a≤∣a∣.|-a|=|a|, \qquad |ab|=|a||b|, \qquad -|a|\le a\le |a|.

若 b≥0b\ge 0，则

∣a∣≤b⟺−b≤a≤b.|a|\le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b\le a\le b.

若 b>0b>0，则

∣a∣<b⟺−b<a<b.|a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<a<b.

定理

三角不等式

对所有实数 a,b，

∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣.|a+b|\le |a|+|b|.

更一般地，

∣a1+⋯+an∣≤∣a1∣+⋯+∣an∣.|a_1+\cdots+a_n|\le |a_1|+\cdots+|a_n|.

三角不等式表示：直接位移不会比绕路位移更长。

解绝对值不等式

绝对值问题常要在内部式子变号的位置分段。

例题

在断点分段

解

∣x−2∣+∣2x+1∣≥4.|x-2|+|2x+1|\ge 4.

两个式子分别在 x=2x=2 和 x=−1/2x=-1/2 变号。因此考虑

(−∞,−1/2),[−1/2,2),[2,∞).(-\infty,-1/2),\qquad [-1/2,2),\qquad [2,\infty).

若 x<−1/2x<-1/2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=−(x−2)−(2x+1)=−3x+1.|x-2|+|2x+1|=-(x-2)-(2x+1)=-3x+1.

不等式 −3x+1≥4-3x+1\ge 4 给出 x≤−1x\le -1。

若 −1/2≤x<2-1/2\le x<2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=−(x−2)+(2x+1)=x+3.|x-2|+|2x+1|=-(x-2)+(2x+1)=x+3.

不等式 x+3≥4x+3\ge 4 给出 x≥1x\ge 1，所以本段贡献 1≤x<21\le x<2。

若 x≥2x\ge 2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=(x−2)+(2x+1)=3x−1.|x-2|+|2x+1|=(x-2)+(2x+1)=3x-1.

不等式 3x−1≥43x-1\ge 4 给出 x≥5/3x\ge 5/3，与 x≥2x\ge 2 合并后是 x≥2x\ge 2。

总解集为

x≤−1或x≥1.x\le -1 \quad\text{或}\quad x\ge 1.

经典不等式的习惯

后续会见到 Bernoulli 不等式与 AM-GM。无论名称如何，基本习惯相同：写清楚 定义域，找出非负量或单调函数，并记录等号何时成立。

定理

两个非负数的 AM-GM

若 u,v≥0u,v\ge 0，则

u+v2≥uv.\frac{u+v}{2}\ge \sqrt{uv}.

等号成立当且仅当 u=vu=v。

这可由

(u−v)2≥0(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge 0

直接推出。

快速检查

快速检查

为什么把不等式乘以 x−1x-1 需要分情况？

留意 x−1x-1 的符号。

解答

答案

快速检查

把 ∣x−5∣<2|x-5|<2 改写成区间。

使用离 5 的距离。

解答

答案

快速检查

当 x,y>0x,y>0 时，x/y+y/x>=2x/y + y/x >= 2 的等号何时成立？

看证明中用到的平方。

解答

答案

练习

  1. 解 ((x−2)(x−3))/(x+1)>0((x-2)(x-3))/(x+1) > 0。
  2. 证明 Bernoulli 不等式：若 x>−1x>-1，则对每个 n∈Z+n\in Z^+， (1+x)n≥1+nx(1+x)^n\ge 1+nx。
  3. 解 ∣x+2∣/(x+1)<−1|x+2|/(x+1)<-1。
  4. 证明对实数 a,b，∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣||a|-|b||\le |a-b|。

引导解答

  1. 临界点是 −1-1, 2, 3，其中 x=−1x=-1 排除。符号表给出 (−1,2)∪(3,∞)(-1,2)\cup(3,\infty)。
  2. 用归纳法。若 (1+x)k≥1+kx(1+x)^k\ge 1+kx，乘以 1+x>01+x>0，剩下要比较的项是 kx2≥0kx^2\ge 0。
  3. 定义域要求 x≠−1x\ne -1。在 x=−2x=-2 和 x=−1x=-1 分段，可得 −3/2<x<−1-3/2<x<-1。
  4. 由三角不等式， ∣a∣=∣(a−b)+b∣≤∣a−b∣+∣b∣|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|，故 ∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣|a|-|b|\le |a-b|；交换 a,b 即得另一边。

先备知识

2.1

2.1 数学归纳法

本单元重点词汇

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