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3.1 不等式與絕對值

透過保留不等號方向、追蹤定義域，以及把絕對值理解為距離來解不等式。

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MATH1025：預備數學

預備數學筆記。

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12 節

不等式是有方向的陳述

方程記錄相等，不等式記錄大小次序。兩者的代數規則相近，但有一個關鍵差異： 乘以正數會保留不等號方向，乘以負數會把方向反轉。

本章的主要訓練，是判斷哪些變形保留解集，哪些變形必須分情況處理。

基本次序規則

定理

實數次序規則

對實數 a,b,c：

  • a<ba<b, a=ba=b, a>ba>b 恰有一個成立；
  • 若 a<ba<b 且 b<cb<c，則 a<ca<c；
  • 若 a<ba<b，則 a+c<b+ca+c<b+c；
  • 若 a<ba<b 且 c>0c>0，則 ac<bcac<bc；
  • 若 a<ba<b 且 c<0c<0，則 ac>bcac>bc。

最後兩條解釋了為甚麼不能隨意把不等式兩邊乘以 x−1x-1：它的符號取決於 x。

例題

由平方得到不等式

設 x,y>0x,y>0。證明

xy+yx≥2.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

因為 (x−y)2≥0(x-y)^2\ge 0，所以

x2−2xy+y2≥0,x^2-2xy+y^2\ge 0,

因此

x2+y2≥2xy.x^2+y^2\ge 2xy.

又因為 xy>0xy>0，除以 xy 會保留不等號方向：

x2+y2xy≥2.\frac{x^2+y^2}{xy}\ge 2.

即

xy+yx≥2.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.

等號成立當且僅當 x=yx=y。

這類證明常從一個顯然非負的量開始，再把它整理成目標不等式。

有理不等式

常見錯誤

不要乘以符號未知的式子

不等式

x+1x−1≤2\frac{x+1}{x-1}\le 2

不能直接乘以 x−1x-1，因為 x>1x>1 時它為正，x<1x<1 時它為負，而 x=1x=1 時 原式沒有定義。

可靠方法包括：

  • 依分母符號分情況；
  • 排除零點後乘以平方；
  • 全部移到同一邊，再用符號表。

例題

解有理不等式

解

x+1x−1≤2.\frac{x+1}{x-1}\le 2.

原式在 x=1x=1 沒有定義。先移到同一邊：

x+1x−1−2≤0.\frac{x+1}{x-1}-2\le 0.

化簡得

x+1−2x+2x−1≤0,3−xx−1≤0.\frac{x+1-2x+2}{x-1}\le 0, \qquad \frac{3-x}{x-1}\le 0.

等價於

x−3x−1≥0.\frac{x-3}{x-1}\ge 0.

臨界點是 1 和 3。符號表顯示分式在 (−∞,1)(-\infty,1) 及 [3,∞)[3,\infty) 為 非負，但 x=1x=1 必須排除。因此解集為

x<1或x≥3.x<1 \quad\text{或}\quad x\ge 3.

絕對值作為距離

定義

絕對值

對實數 a，

∣a∣={a,a≥0,−a,a<0.|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases}

幾何上，|a| 是數線上 a 到 0 的距離。

因此絕對值永遠非負，而且

∣a∣=a2.|a|=\sqrt{a^2}.

定理

常用絕對值事實

對實數 a,b，

∣−a∣=∣a∣,∣ab∣=∣a∣∣b∣,−∣a∣≤a≤∣a∣.|-a|=|a|, \qquad |ab|=|a||b|, \qquad -|a|\le a\le |a|.

若 b≥0b\ge 0，則

∣a∣≤b⟺−b≤a≤b.|a|\le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b\le a\le b.

若 b>0b>0，則

∣a∣<b⟺−b<a<b.|a|<b \quad\Longleftrightarrow\quad -b<a<b.

定理

三角不等式

對所有實數 a,b，

∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣.|a+b|\le |a|+|b|.

更一般地，

∣a1+⋯+an∣≤∣a1∣+⋯+∣an∣.|a_1+\cdots+a_n|\le |a_1|+\cdots+|a_n|.

三角不等式表示：直接位移不會比繞路位移更長。

解絕對值不等式

絕對值問題常要在內部式子變號的位置分段。

例題

在斷點分段

解

∣x−2∣+∣2x+1∣≥4.|x-2|+|2x+1|\ge 4.

兩個式子分別在 x=2x=2 和 x=−1/2x=-1/2 變號。因此考慮

(−∞,−1/2),[−1/2,2),[2,∞).(-\infty,-1/2),\qquad [-1/2,2),\qquad [2,\infty).

若 x<−1/2x<-1/2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=−(x−2)−(2x+1)=−3x+1.|x-2|+|2x+1|=-(x-2)-(2x+1)=-3x+1.

不等式 −3x+1≥4-3x+1\ge 4 給出 x≤−1x\le -1。

若 −1/2≤x<2-1/2\le x<2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=−(x−2)+(2x+1)=x+3.|x-2|+|2x+1|=-(x-2)+(2x+1)=x+3.

不等式 x+3≥4x+3\ge 4 給出 x≥1x\ge 1，所以本段貢獻 1≤x<21\le x<2。

若 x≥2x\ge 2，

∣x−2∣+∣2x+1∣=(x−2)+(2x+1)=3x−1.|x-2|+|2x+1|=(x-2)+(2x+1)=3x-1.

不等式 3x−1≥43x-1\ge 4 給出 x≥5/3x\ge 5/3，與 x≥2x\ge 2 合併後是 x≥2x\ge 2。

總解集為

x≤−1或x≥1.x\le -1 \quad\text{或}\quad x\ge 1.

經典不等式的習慣

後續會見到 Bernoulli 不等式與 AM-GM。無論名稱如何，基本習慣相同：寫清楚 定義域，找出非負量或單調函數，並記錄等號何時成立。

定理

兩個非負數的 AM-GM

若 u,v≥0u,v\ge 0，則

u+v2≥uv.\frac{u+v}{2}\ge \sqrt{uv}.

等號成立當且僅當 u=vu=v。

這可由

(u−v)2≥0(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge 0

直接推出。

快速檢查

快速檢查

為甚麼把不等式乘以 x−1x-1 需要分情況？

留意 x−1x-1 的符號。

解答

答案

快速檢查

把 ∣x−5∣<2|x-5|<2 改寫成區間。

使用離 5 的距離。

解答

答案

快速檢查

當 x,y>0x,y>0 時，x/y+y/x>=2x/y + y/x >= 2 的等號何時成立？

看證明中用到的平方。

解答

答案

練習

  1. 解 ((x−2)(x−3))/(x+1)>0((x-2)(x-3))/(x+1) > 0。
  2. 證明 Bernoulli 不等式：若 x>−1x>-1，則對每個 n∈Z+n\in Z^+， (1+x)n≥1+nx(1+x)^n\ge 1+nx。
  3. 解 ∣x+2∣/(x+1)<−1|x+2|/(x+1)<-1。
  4. 證明對實數 a,b，∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣||a|-|b||\le |a-b|。

引導解答

  1. 臨界點是 −1-1, 2, 3，其中 x=−1x=-1 排除。符號表給出 (−1,2)∪(3,∞)(-1,2)\cup(3,\infty)。
  2. 用歸納法。若 (1+x)k≥1+kx(1+x)^k\ge 1+kx，乘以 1+x>01+x>0，剩下要比較的項是 kx2≥0kx^2\ge 0。
  3. 定義域要求 x≠−1x\ne -1。在 x=−2x=-2 和 x=−1x=-1 分段，可得 −3/2<x<−1-3/2<x<-1。
  4. 由三角不等式， ∣a∣=∣(a−b)+b∣≤∣a−b∣+∣b∣|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|，故 ∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣|a|-|b|\le |a-b|；交換 a,b 即得另一邊。

先備知識

2.1

2.1 數學歸納法

本單元重點詞彙

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