MATH1030：线性代数 I
线性代数笔记。
你可以用侧栏逐章前进，或直接从下方进入某一节笔记。
章节 1
方程组
学习把方程读成完整的解集。
章节 2
矩阵与消元
建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。
章节 3
矩阵代数
矩阵乘法、转置与结构化矩阵记号。
3.1 矩阵乘法与单位矩阵
理解何时可以做矩阵乘法、行乘列规则怎样运作，以及单位矩阵为何在解线性方程组时重要。
3.2 转置与特殊矩阵
用转置、对称性、交换乘积与分块记号去读懂矩阵结构，而不是把公式当成零散技巧。
3.3 行变换矩阵
把初等行变换表示成左乘初等矩阵，再用反向行变换理解可逆性。
3.1 矩阵加法、减法与数乘
学会哪些矩阵运算是逐格进行、为何大小必须配合，以及零矩阵如何充当加法单位元。
3.2 矩阵乘法与线性方程组
把矩阵乘法理解成行乘列的规则，也理解成把多个线性组合或方程组一起打包的方式。
3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵
转置会交换行与列，而对称性则记录主对角线两侧哪些部分保持不变。
3.4 特殊矩阵
认识对角矩阵、三角矩阵、单位矩阵与初等矩阵，并理解它们的特殊形状为何能令后面的论证更短。
3.5 分块矩阵
把大型矩阵分成较小部分，让加法与乘法可以逐块进行，同时保持原来的数学意思。
章节 4
解的结构
齐次方程组、零空间与完整解集的结构。
章节 5
可逆性
理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。
章节 6
向量空间
由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。
6.1 向量空间
由熟悉例子开始，理解向量空间公理到底想保护什么结构。
6.2 子空间
用子空间测试把真正的线性结构，和那些缺少封闭性或零向量的集合分开。
6.3 线性组合与张成
把线性组合看成有控制的搭建指令，再把张成理解成所有能这样搭出来的向量。
6.4 线性相依与线性无关
把相依看成冗余，把无关看成每个系数都真正有作用的情况。
6.5 基底与维数
看清基底为何是空间最小而完整的坐标系统，以及维数为何是在数真正需要多少个方向。
6.6 列空间、行空间与秩
把行化简与基底观念结合起来，读懂列空间、行空间与秩，并分清楚行变换到底保留什么。
6.7 矩阵子空间、基与维数
把张成、基与维数由列向量子空间推广到矩阵子空间，例如全矩阵空间、上三角矩阵与反对称矩阵。
6.8 基底延伸与基变换
用基底存在性、替换定理与基变换矩阵，严谨比较不同坐标系统。
章节 7
行列式
行列式、余因子公式，以及把行变换、转置与可逆性连起来的结构化代数。
章节 8
特征值与对角化
特征值、特征空间、相似与对角化，作为行列式之后的下一层结构。
章节 9
内积与正交性
内积、正交性、标准正交基与 Gram-Schmidt，作为特征值之后的几何层次。