MATH1030：線性代數 I
線性代數筆記。
你可以用側欄逐章前進，或直接從下方進入某一節筆記。
章節 1
方程組
學習把方程讀成完整的解集。
章節 2
矩陣與消元
建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。
章節 3
矩陣代數
矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。
3.1 矩陣乘法與單位矩陣
理解何時可以做矩陣乘法、行乘列規則怎樣運作，以及單位矩陣為何在解線性方程組時重要。
3.2 轉置與特殊矩陣
用轉置、對稱性、交換乘積與分塊記號去讀懂矩陣結構，而不是把公式當成零散技巧。
3.3 行變換矩陣
把初等行變換表示成左乘初等矩陣，再用反向行變換理解可逆性。
3.1 矩陣加法、減法與純量乘法
學會哪些矩陣運算是逐格進行、為何大小必須配合，以及零矩陣如何充當加法單位元。
3.2 矩陣乘法與線性方程組
把矩陣乘法理解成行乘列的規則，也理解成把多個線性組合或方程組一起打包的方式。
3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣
轉置會交換行與列，而對稱性則記錄主對角線兩側哪些部分保持不變。
3.4 特殊矩陣
認識對角矩陣、三角矩陣、單位矩陣與初等矩陣，並理解它們的特殊形狀為何能令後面的論證更短。
3.5 分塊矩陣
把大型矩陣分成較小部分，令加法與乘法可以逐塊進行，同時保持原來的數學意思。
章節 4
解的結構
齊次方程組、零空間與完整解集的結構。
章節 5
可逆性
理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。
章節 6
向量空間
由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。
6.1 向量空間
由熟悉例子開始，理解向量空間公理到底想保護甚麼結構。
6.2 子空間
用子空間測試把真正的線性結構，和那些缺少封閉性或零向量的集合分開。
6.3 線性組合與張成
把線性組合看成有控制的搭建指令，再把張成理解成所有能這樣搭出來的向量。
6.4 線性相依與線性無關
把相依看成冗餘，把無關看成每個係數都真正有作用的情況。
6.5 基底與維數
看清基底為何是空間最小而完整的座標系統，以及維數為何是在數真正需要多少個方向。
6.6 列空間、行空間與秩
把行化簡與基底觀念結合起來，讀懂列空間、行空間與秩，並分清楚行變換到底保留甚麼。
6.7 矩陣子空間、基底與維數
把張成、基底與維數由列向量子空間推廣到矩陣子空間，例如全矩陣空間、上三角矩陣與反對稱矩陣。
6.8 基底延伸與基變換
用基底存在性、替換定理與基變換矩陣，嚴謹比較不同坐標系統。
章節 7
行列式
行列式、餘因子公式，以及把行變換、轉置與可逆性連起來的結構化代數。
章節 8
特徵值與對角化
特徵值、特徵空間、相似與對角化，作為行列式之後的下一層結構。
章節 9
內積與正交性
內積、正交性、標準正交基與 Gram-Schmidt，作為特徵值之後的幾何層次。