3.1 矩陣乘法與單位矩陣

矩陣乘法是第一個真正把「行」與「列」結合起來的矩陣運算。它也是矩陣之所 以能表達複合、線性方程組與逆矩陣的核心原因。所以這條規則不能只靠死記； 你要明白每一步的大小條件到底在做甚麼。

為甚麼矩陣乘法比加法微妙

矩陣加法與數乘都是逐項進行。矩陣乘法則不同：輸出中的一個元素，是由左邊 矩陣的一整行與右邊矩陣的一整列共同決定。

內側大小必須配對；外側大小則給出結果矩陣的大小。

行乘列規則

這個定義同時說明三件事：

• 矩陣乘法不是逐項相乘；
• 內側大小必須吻合；
• 一個輸出元素會用到整行與整列中所有對應位置。

矩陣乘向量就是方程組語言

若 x 是列向量，那麼 Ax 只是矩陣乘法的特例，但它剛好把線性方程組的左 邊全部打包起來。

對

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 並不是純粹縮寫，而是把整個方程組寫成一個矩陣乘積。

單位矩陣是刻意「甚麼也不改變」的矩陣

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

單位矩陣之所以重要，是因為它對任何大小相容的矩陣都不起改變作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

這正是往後定義逆矩陣的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

乘法一般不交換

線性代數最早令學生不習慣的地方之一，就是

$$AB \ne BA$$

一般並不成立。

有時兩個乘積都定義，但結果不同；有時其中一個有定義，另一個根本未定義。 所以次序同時影響「能不能做」與「做出來是甚麼」。

下面的圖可以幫你直接看到：一個輸出元素，是如何由一行與一列構成的。

用列觀點去讀乘積

除咗逐格計算之外，矩陣乘法仲有另一個非常重要嘅讀法。

如果將 $B$ 嘅列寫成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

咁就有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

即係話，乘積嘅每一列，都可以理解成 $A$ 乘上 $B$ 嘅對應列向量。

矩陣乘法其實表示複合

矩陣乘法唔係隨手規定出嚟嘅公式，而係用嚟表達線性映射複合嘅規則。

如果向量 x 先被送去 Bx，再將結果送去 A(Bx)，咁整體作用就係

$$(AB)x.$$

所以內側大小一定要吻合，因為第一個變換嘅輸出，必須係第二個變換可以接收 嘅輸入。

標準基向量解釋點解列觀點咁自然

喺 $R^n$ 入面，$e_k$ 係第 k 個位置等於 1、其餘位置都係 0 嘅向量。 如果 $A$ 係 $m \times n$ 矩陣，咁 $Ae_k$ 就正正係 $A$ 嘅第 k 列。

因此單位矩陣一啲都唔神秘。$I_n$ 嘅各列就係 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以 右乘 $I_n$，其實就係逐列將 $A$ 自己原封不動咁重建出嚟。

同一個 sanity check 亦適用於零矩陣。如果右邊矩陣每一列都係零向量，咁乘積 嘅每一列都會變成零向量，所以任何大小相容嘅 A0 都一定係零矩陣。

最先要記住的代數法則

當乘法有定義之後，下一個問題就係：佢同你已經熟悉的其他矩陣運算如何配合。

只要大小相容，矩陣乘法滿足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而純量亦可以搬進搬出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩陣係最簡單的 sanity check。若 0 係大小相容的零矩陣，便有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因係：行乘列時只要其中一邊全部是零，所有輸出元素都只會係零。

呢幾條法則雖然基本，但往後講逆矩陣、block 計算和更長的乘積推理時， 都會默默用到。如果唔將佢哋明確掌握，後面的大計算就會好難核對。

從練習題看出主要陷阱

矩陣代數的 assignment 題通常不只是測試算術。當乘積裏面出現未知元素時， 題目往往同時要求你讀懂大小、知道哪一行和哪一列決定某個輸出元素，並記得 矩陣因子通常不能互相調換。

這類題目的重點，不是把所有元素都盲目乘出來，而是抽出已知乘積元素所強制 的少數方程。

同一個警告亦解釋了常見錯誤：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在額外知道 $AB=BA$ 時，這才等於 $A^2-B^2$。實數代數會遮住這個問題， 因為實數乘法可交換；矩陣代數不會。

可以用一次明確計算看出原因。寫

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ b_1 & c_1 & 0 \\ d_1 & e_1 & f_1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a_2 & 0 & 0 \\ b_2 & c_2 & 0 \\ d_2 & e_2 & f_2 \end{bmatrix}.$$

則

$$AB = \begin{bmatrix} a_1a_2 & 0 & 0 \\ b_1a_2+c_1b_2 & c_1c_2 & 0 \\ d_1a_2+e_1b_2+f_1d_2 & e_1c_2+f_1e_2 & f_1f_2 \end{bmatrix}.$$

對角線上方的元素保持為零，因為那些行乘列的和式中，每一項都會被左邊或右 邊其中一個上方零項殺掉。這是一個「形狀性質」被矩陣乘法保留的好例子。

常見錯誤

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練習

相關筆記

本節建立在 2.1 矩陣基礎 之上。 下一節可讀 3.2 轉置與特殊矩陣， 或直接跳到 5.1 可逆矩陣。