不是每個矩陣都需要特別命名。這一節出現的幾類矩陣之所以有名字，是因為它們的形狀本身已經帶有很多資訊。
當你能夠迅速認出一個特殊矩陣時，你往往會更早知道：
- 它乘起來可能會變成甚麼樣；
- 某些零元素是否必然保留；
- 某條證明為何可以寫得更短。
先有直覺：形狀本身就是訊息
特殊矩陣並不一定少見；它們重要，是因為它們的圖案讓你在真正計算之前，已經能看見部分結構。
- 對角矩陣告訴你：非對角元素全都不參與。
- 三角矩陣告訴你：某一側本來就已經全是
0。 - 單位矩陣告訴你：乘法中甚麼都不改變。
- 初等矩陣告訴你：一次行變換其實可以包裝成矩陣乘法。
換句話說，特殊矩陣讓你在運算前就先看見形狀背後的意思。
定義
定義
對角、三角、單位與初等矩陣
若一個方陣的所有非對角元素都等於 0，它就是對角矩陣。
若一個方陣在主對角線下方全是 0，它是上三角矩陣；若主對角線上方全是 0，它是下三角矩陣。
是在主對角線上全是 1 的對角矩陣，稱為單位矩陣。
若一個矩陣是由單位矩陣做一次初等行變換得到的，便稱為初等矩陣。
內嵌互動時刻：由形狀做分類
在看初等矩陣之前，先用下面的互動區比較幾個常見家族。請留意：同一個矩陣可以同時屬於不止一種家族。
邊讀邊試
matrix-family-checker
矩陣 A
| 2 | -1 |
| -1 | 5 |
轉置 A^T
| 2 | -1 |
| -1 | 5 |
矩陣類型
對稱
轉置後與原矩陣逐格完全相同，所以 A^T = A。
例子
例題
先認類型，再決定怎樣計
考慮
是對角矩陣，因此它同時也是三角矩陣。
是上三角矩陣，因為主對角線下方的元素全部都是 0；但它不是對角矩陣，因為主對角線上方仍有非零元素。
而
既是單位矩陣，也是對角矩陣，亦是對稱矩陣。
為何單位矩陣叫做「單位」
單位矩陣在矩陣乘法中的作用，就像數字 1 在普通乘法中的作用一樣。
若 是 矩陣，則
這正是為甚麼單位矩陣會不停出現在求逆問題中。當你問一個方陣 能否被「還原」時，其實就是在問：有沒有另一個矩陣和它相乘後得到 。
內嵌互動時刻：初等矩陣與行變換
初等矩陣的重要性，在於它把行變換翻譯成矩陣乘法。
請一邊看下面的消元步驟，一邊把每一步理解成：「左乘另一個初等矩陣」。
邊讀邊試
跟著走完一條行化簡路徑
互動步驟器會帶你走完一條完整的消元路徑，逐步顯示行變換、正在處理的主元，以及每一步得到的矩陣。
| 1 | 2 | 2 | 4 |
| 1 | 3 | 3 | 5 |
| 2 | 6 | 5 | 6 |
行變換
先在第 1 列選主元。
要留意甚麼
第 1 列的第一行已經有方便的主元 1，所以暫時不用換行。
先由增廣矩陣開始。第一個主元的工作，是幫我們把它下面的元素清掉。
初等矩陣其實是行變換的包裝
若 是從 經一次交換行、縮放行，或以某行倍數加到另一行後得到的矩陣，那麼左乘 EA，就等於把同一個行變換作用到 。
這是一條很重要的橋：
- 行變換不只是表格上的機械動作；
- 它可以被寫成真正的矩陣乘法。
這條橋在後面的可逆性、行等價和逆矩陣討論之中都非常重要。
定理
左乘初等矩陣，就會做出對應的行變換
若 是初等矩陣，而 的大小相容，則 EA 就是把那一次相應的行變換作用在 上所得的矩陣。
常見錯誤
常見錯誤
把對角矩陣和三角矩陣混為一談
每個對角矩陣都會是三角矩陣，但三角矩陣未必是對角矩陣。
常見錯誤
忘記哪一側必須是 0
上三角矩陣要求主對角線下方全是 0；下三角矩陣則要求主對角線上方全是 0。
常見錯誤
把初等矩陣當成任意矩陣
初等矩陣的定義非常具體：它必須由單位矩陣做一次初等行變換得到。
快速檢查
快速檢查
為甚麼每個對角矩陣都同時是上三角矩陣和下三角矩陣？
請用「非對角元素」來回答。
解答
答案
快速檢查
單位矩陣在乘法中有甚麼作用？
請用一句話回答。
解答
答案
練習
快速檢查
為甚麼左乘初等矩陣會改變行，而不是列？
請直接使用「行變換」這個詞語。
解答
引導解答
快速檢查
請說明：為甚麼單位矩陣會同時屬於多個矩陣家族？
至少指出兩個家族。
解答
引導解答
相關筆記
若你覺得行變換的語言有點生疏，可先回看 2.2 增廣矩陣與行變換。
接著可讀 3.5 分塊矩陣，看看怎樣把大矩陣拆成較小部分去處理。