2.3 高斯消元與最簡行階梯形

為甚麼要學消元

很多同學第一次接觸高斯消元時，都會覺得它像一堆死規則：

• 換行，
• 乘一行，
• 減一行，
• 一直做到矩陣看起來「整齊」為止。

這個理解太弱。

高斯消元真正的作用，是把本來難讀的方程組，逐步改寫成容易閱讀的 形式。每一步行變換都應該回答一個很清楚的問題，例如：

• 我下一步想把哪個變量的位置弄清楚？
• 哪個元素正在阻礙我？
• 用哪個操作，可以在不改變解集的情況下製造更多 0？

如果你一直帶著這些問題去做，消元就不再像機械重複，而會變成一種 有方向的閱讀方法。

先講直覺：我們想得到甚麼形狀？

我們想得到的，不只是「比較簡單的矩陣」，而是方便讀出結構的矩 陣。

實際上，這表示你要不斷做以下事情：

1. 選一個主元，
2. 把它下面的元素清掉，
3. 轉到右下角較小的子矩陣，
4. 如果想要最易讀的形式，再把主元上方的元素也清掉。

所以，消元其實是在一步一步建立一條主元階梯。

每一個非零行最左邊的第一個非零元素，叫做 主元。含有主元的列， 叫做 主元列。沒有主元的列，對應的是 自由變量。

這些詞彙很重要，因為之後你判斷「唯一解 / 無限多解 / 無解」時，就 是靠它們。

所以，行化簡不是在改題目，而是在重新排列同一題的資訊。

走一次完整的消元路徑

消元法的核心做法，是由增廣矩陣開始， 然後反覆利用主元去清掉它下面的元素。現在我們沿着這個思路看一個 小例子：

$$\begin{aligned} x + 2y + 2z &= 4, \\ x + 3y + 3z &= 5, \\ 2x + 6y + 5z &= 6. \end{aligned}$$

它的增廣矩陣是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

這個例子要你記住的，不是孤立的步驟，而是以下節奏：

• 清主元下面的元素，建立 REF；
• 清主元上面的元素，建立 RREF；
• 到了 RREF，就可以直接讀解。

用互動步驟器再走一次

下面的步驟器保留同一條消元路徑，但刻意放慢節奏。每到一步，都請你 同時觀察：

1. 正在處理哪一個主元；
2. 正在做哪一個行變換；
3. 做完之後，哪一部分變得更容易讀。

較長的功課式行化簡

短例子適合學基本操作，但真正的功課題通常會檢查你能不能把整段計算 保持有組織。難點不只是數字變大，而是每一步都要知道自己正在清哪一 列、建立哪一個主元。

考慮增廣矩陣

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 5 & 10 & 3 & 2 & 4 & 11 & 8 \end{bmatrix}.$$

第一列已有可用主元。先清掉它下方的元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

現在第 2 行提供下一個主元。用它清掉下面相同方向的元素：

$$R_3\leftarrow R_3-R_2, \qquad R_4\leftarrow R_4-3R_2.$$

再把之後出現的重複行清掉後，一個清楚的階梯階段是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

這裡要暫停閱讀結構：主元列是第 1、3、5 列；自由列是第 2、4、6 列。要到 RREF，只需清掉第 5 列主元上方的元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_3.$$

最後的最簡形是

$$C'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

令

$$x_2=u,\qquad x_4=v,\qquad x_6=w.$$

三條主元方程讀成

$$\begin{aligned} x_1+2x_2+x_4+2x_6 &= 1,\\ x_3-x_4-x_6 &= 5,\\ x_5+x_6 &= -3. \end{aligned}$$

所以所有解可以寫成

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\5\\0\\-3\\0 \end{bmatrix} +u \begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +w \begin{bmatrix} -2\\0\\1\\0\\-1\\1 \end{bmatrix}.$$

這個例子說明，長消元的目的不只是製造 0，而是暴露主元與自由變量的 結構，然後由這個結構寫出完整解集。

怎樣讀一個 RREF 矩陣

當矩陣已經在 RREF 時，最重要的閱讀問題有三個：

• 每個變量列都有主元嗎？
• 有沒有自由變量？
• 有沒有矛盾行？

常見錯誤

快速檢查

練習

練習 1

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

開始，如果你的目標是清掉第一個主元下面的元素，最自然的第一步行變 換是甚麼？

練習 2

考慮矩陣

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

它代表的系統有唯一解、無限多解，還是無解？

練習 3

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

開始，哪一個單一步行變換可以把它化成 RREF？

練習 4

對於 RREF

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

令 $x_2=u$、$x_4=v$、$x_6=w$。把 $x_1$、$x_3$、$x_5$ 寫成 u、 v、w 的式子。

先讀這一頁

這一頁直接建立在 2.2 增廣矩陣與行變換 之上。如果你對「為甚麼行變換不會改變解集」仍然覺得不穩，請先回去 重讀那一頁，再練這裡的長消元路徑。