3.1 矩陣加法、減法與純量乘法

這一節開始，矩陣不再只是盛載資料的表格，而是真正可以計算的數學對象。最先遇到的三種運算是最基本的：

• 兩個矩陣相加；
• 一個矩陣減去另一個矩陣；
• 用一個純量乘上一個矩陣。

對初學者來說，最重要的觀念很簡單：

• 加法是逐格做；
• 減法也是逐格做；
• 純量乘法會保留矩陣大小，並把每個元素一同放大或縮小。

如果兩個矩陣之間根本沒有「對應位置」，加法與減法就無從開始。

先有直覺：同型不是裝飾條件

普通數字相加時，你不會想到「大小」這回事。矩陣不同，因為矩陣把資訊放在特定的行和列之中，所以每一個位置本身都有意義。

若兩個矩陣大小不同，那麼一個矩陣的第 2 行第 3 列，另一個矩陣未必有對應位置。既然沒有配對位置，逐格加法或逐格減法便無法定義。

所以你常常會先聽到「要同型」這句話，然後才見到公式。這不是附帶條件，而是運算意思的一部分。

定義

若 $A = [a_{ij}]$、$B = [b_{ij}]$，那麼

$$[A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad [cA]_{ij} = c a_{ij}.$$

減法其實是甚麼

矩陣減法不是一條全新的規則，而是先取加法逆元，再做加法：

$$A - B = A + (-B).$$

把這句話講清楚很有用，因為它能幫你理解後面的代數結構。每當你對減法感到混亂，把它先重寫成「加上一個負的矩陣」，思路通常會更清楚。

內嵌互動時刻

下面的互動區可以在 $A + B$、$A - B$ 和 cA 之間切換。請特別留意結果的大小。無論選哪一種運算，輸出的矩陣大小都會與輸入矩陣的大小配合。

例子

為何零矩陣重要

零矩陣不只是最簡單的特例。它其實告訴你：矩陣加法中的「甚麼都不改變」是甚麼樣子。

若 $O$ 是與 $A$ 同型的零矩陣，則

$$A + O = A.$$

這件事很重要，因為一個代數系統若要有完整的加法結構，就需要一個加法單位元。對矩陣來說，這個單位元還會依賴大小。$2 × 2$ 的零矩陣不能代替 $3 × 3$ 的零矩陣。

常見錯誤

快速檢查

練習

相關筆記

若你仍想慢慢重溫行、列與元素，先讀 2.1 矩陣基礎。

若你想看第一種不是逐格進行的矩陣運算，接著讀 3.2 矩陣乘法與線性方程組。