3.1 矩阵加法、减法与数乘

从这一节开始，矩阵不再只是装载信息的表格，而是可以真正计算的数学对象。最先遇到的三种运算是最基础的：

• 两个矩阵相加；
• 一个矩阵减去另一个矩阵；
• 用一个标量乘一个矩阵。

对初学者来说，最重要的观念很简单：

• 加法是逐格做；
• 减法也是逐格做；
• 数乘会保留矩阵大小，并把每个元素一起放大或缩小。

如果两个矩阵之间根本没有“对应位置”，那么加法和减法就无从谈起。

先有直觉：同型不是装饰条件

普通数字相加时，你不会想到“大小”这回事。矩阵不同，因为矩阵把信息放在特定的行和列里，所以每个位置本身就有意义。

如果两个矩阵大小不同，那么一个矩阵的第 2 行第 3 列，在另一个矩阵里未必有对应位置。既然没有配对位置，逐格加法或逐格减法就无法定义。

所以你常常会先听到“必须同型”这句话，然后才看到公式。它不是附带条件，而是运算意义的一部分。

定义

如果 $A = [a_{ij}]$、$B = [b_{ij}]$，那么

$$[A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad [cA]_{ij} = c a_{ij}.$$

减法本质上是什么

矩阵减法不是一条全新的规则，而是先取加法逆元，再做加法：

$$A - B = A + (-B).$$

把这句话讲清楚很有用，因为它能帮助你理解后面的代数结构。每当你对减法感到混乱，把它先重写成“加上一个负矩阵”，思路通常会清楚很多。

嵌入式互动时刻

下面的互动区可以在 $A + B$、$A - B$ 和 cA 之间切换。请特别留意结果的大小。无论选哪一种运算，输出矩阵的大小都会与输入矩阵保持一致。

例题

为什么零矩阵重要

零矩阵不只是最简单的特例。它告诉你：矩阵加法中“什么都不改变”的对象是什么。

如果 $O$ 是与 $A$ 同型的零矩阵，那么

$$A + O = A.$$

这很重要，因为一个代数系统若要有完整的加法结构，就需要一个加法单位元。对矩阵来说，这个单位元还依赖大小。$2 × 2$ 的零矩阵不能代替 $3 × 3$ 的零矩阵。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

如果你还想慢一点复习行、列与元素，可以先读 2.1 矩阵基础。

如果你想看第一种不是逐格进行的矩阵运算，可以继续读 3.2 矩阵乘法与线性方程组。