2.1 矩阵基础

在课程一开始，矩阵似乎只是把线性方程组整理得更紧凑的方法。但很快你就会看到，矩阵本身也是需要独立研究的对象。往后的消元、零空间、可逆性与向量空间语言，都依赖你先把下面几件事分清：

矩阵到底是什么；
两个矩阵什么时候才算相等；
在矩阵乘法出现之前，哪些基本运算已经定义好；
线性方程组如何被记录成矩阵叙述。

这一节先把这套语言讲清楚。

开始之前

本节不假设你已经学过矩阵理论。不过，它会用到代数和第一节线性方程组里的一些基本习惯。

你应该能够：

把 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 读成三个不同未知数；
在一个线性方程中找出系数，包括系数为 0、1、 $-1$ 的情形；
保持有序数组，例如 $(2,-1,4)$ 中每个数的位置；
逐项做基本的正负数运算。

如果这些地方还不熟，也不需要先背矩阵术语。读这一页时，更有效的做法是在每个例题旁边停一下，问自己：现在用的是哪一行、哪一列、哪一个位置？

什么是矩阵

定义

矩阵

矩阵是按行和列排成的长方形数字表。

若一个矩阵有 m 行、n 列，就称它是 $m \times n$ 矩阵。本课中的元素通常是实数，但定义本身并不限于实数。

矩阵写成长方形，不是排版习惯而已。每一行、每一列都带着位置信息；后面定义矩阵相等、矩阵加法与矩阵乘法时，这些位置都不能随便打乱。

因此，矩阵不应被看成一堆散乱数字。放在第 1 行第 3 列的数字，和同一个数字放在第 3 行第 1 列，可以扮演完全不同的角色。举例说，在系数矩阵中，列的位置连到已经选定的变量次序。若变量次序是 $(x_1, x_2, x_3)$ ，第二列记录的就是 $x_2$ 的系数；若改用 $(x_2, x_1, x_3)$ 作次序，显示出来的矩阵也必须相应改变。

常见错误

不要把系数和位置分开

单看数字 5，并不能知道它乘在哪个变量上。在系数矩阵中，是列位置提供了这个信息。除非同时改变变量次序，否则移动一整列就会改变原本编码的方程组。

矩阵结构图：大小、行、列，以及一个指定元素

2 行、3 列，所以大小是 2 x 3

第一个下标选行，第二个下标选列。

先看大小，再看元素

矩阵的大小写作 $m × n$ 。

m 是行数。
n 是列数。

如果 $m = n$ ，这个矩阵就是方阵。

不同大小的矩阵，不只是“看起来不同”，而是根本属于不同类型的对象。例如 $2 \times 3$ 与 $3 \times 2$ 矩阵连逐项比较都做不到，因为位置对不上。

逐个元素去读

若 $A$ 是一个矩阵， $a_{ij}$ 表示第 i 行第 j 列的元素。这种记号很重要，因为之后你可以精确指出一个数在矩阵中的位置。

例题

仔细读一个矩阵

设

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}.

这个矩阵有 2 行 3 列，所以大小是 $2 × 3$ 。第 2 行第 3 列的元素是 4。

记号 $a_{ij}$ 不是繁琐标记，而是往后处理矩阵相等、加法、数乘与乘法时的正式语言。

第一次读矩阵时，先练“读”再练“算”。下面的互动任务刻意保持简单：它训练的正是以后做行化简和矩阵乘法时最容易出错的基本动作。

边读边试

计算前先练习读懂矩阵

通过引导任务练习矩阵计算前最基本的动作：读大小、元素、行、列，以及系数位置。

1	2	0
3	-1	4

要留意什么

先数行，再数列。不要把顺序倒转。

自己试一试

这个矩阵的大小是多少？

矩阵相等要逐项检查

两个矩阵要相等，必须大小一致，而且所有对应位置的元素完全一样。

定义

矩阵相等

设 $A = [a_{ij}]$ 与 $B = [b_{ij}]$ 为两个矩阵。

则 $A = B$ 当且仅当：

$A$ 与 $B$ 的大小相同；
对每一个行列位置 (i,j)，都有 $a_{ij} = b_{ij}$ 。

所以证明两个矩阵相等，往往就是逐项比较。

例题

由矩阵相等求未知数

若

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix},

那么三个位置已经对上，剩下的位置也必须对上，因此 $x = 5$ 。

先有加法与数乘

矩阵乘法出场之前，已有两个基本运算。

定义

矩阵加法与数乘

设 $A = [a_{ij}]$ 与 $B = [b_{ij}]$ 为同样大小的矩阵，c 为标量。

$A + B$ 由对应位置相加得到，即 $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ ；
cA 由每个元素都乘上 c 得到，即 $(cA)_{ij} = c a_{ij}$ 。

其中“同样大小”是关键条件。若大小不同，矩阵加法根本未定义。

例题

计算一个矩阵和与一个数乘

令

A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}.

则

A + B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.

每个元素都逐项处理，但矩阵的大小仍然保持 $2 \times 2$ 。

所有元素都是 0 的矩阵叫做零矩阵。对固定大小来说，它是加法单位元：

A + O = A.

矩阵把方程组整理成一个叙述

矩阵在课程中之所以这么早出现，正是因为它可以把线性方程组打包成较容易系统处理的形式。

考虑方程组

\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}

它的系数矩阵是

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},

未知向量是

x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},

常数向量是

b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.

于是整个系统就可以写成

Ax = b.

这不是单纯的缩写，而是把同一组系数、未知数与常数整理成一个往后可以做行变换、谈零空间与可逆性的数学对象。

如何处理基本矩阵题目

多数入门矩阵题并不是要故意绕你，而是在检查你能否把位置和对象读清楚。一个可靠的做题顺序是：

先确认题目要什么对象：大小、元素、行、列、系数矩阵、常数向量、矩阵和，还是数乘；
如果涉及运算，先检查运算是否有定义；
保持行的顺序和列的顺序不变；
只计算题目真正问到的那些元素；
如果答案本身是矩阵或向量，要同时写出它的大小。

例题

从文字读出系数矩阵

题目：按变量次序 $(x_1,x_2,x_3)$ ，写出下列方程组的系数矩阵与常数向量：

\begin{aligned} 2x_1 - x_3 &= 5,\\ -x_1 + 4x_2 + 3x_3 &= -2. \end{aligned}

第一条方程没有写出 $x_2$ 项，所以先把缺失的系数补出来：

2x_1 + 0x_2 - x_3 = 5.

现在，每一条方程变成一行，列的顺序则跟固定变量次序 $(x_1,x_2,x_3)$ 一致。因此

A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}.

最常见的错误是省略第一行中的 0。但缺失的 $x_2$ 系数本来就是数据的一部分，第二列仍然必须存在。

先预告一下乘法

下一节才正式讲矩阵乘法。这里先让你看到，为什么“行”与“列”的角色如此重要：左矩阵的一行，会和右矩阵的一列共同决定输出中的一个元素。

你可以把下面的图当成下一节的预告。

边读边试

跟着看一格矩阵乘法

互动工具会在你改变 A 与 B 的元素时，即时更新 AB 的每一格。

结果

8	9
3	4

8 = 1×2 + 2×3

常见错误

不要把行和列调乱

第一个下标是行号，不是列号。 $a_{23}$ 代表第 2 行第 3 列。

常见错误

大小不同就不能相加

矩阵加法是逐项相加；若位置对不上，就没有运算可做。

快速检查

$2 × 3$ 矩阵可以和 $3 × 2$ 矩阵相加吗？

请按定义回答，不要只凭外观判断。

解答

答案

快速检查

若 $A$ 是 $4 × 2$ 矩阵， $a_{31}$ 代表什么？

指出行与列的位置。

解答

答案

练习

快速检查

把方程组 $x_1 - x_2 = 3$ 、 $2x_1 + x_2 = 0$ 写成系数矩阵与常数向量。

先固定未知数顺序 $(x_1, x_2)$ 。

解答

2.1 矩阵基础

MATH1030：线性代数 I

开始之前

什么是矩阵

矩阵

不要把系数和位置分开

先看大小，再看元素

逐个元素去读

仔细读一个矩阵

计算前先练习读懂矩阵

矩阵相等要逐项检查

矩阵相等

由矩阵相等求未知数

先有加法与数乘

矩阵加法与数乘

计算一个矩阵和与一个数乘

矩阵把方程组整理成一个叙述

如何处理基本矩阵题目

从文字读出系数矩阵

先预告一下乘法

跟着看一格矩阵乘法

常见错误

不要把行和列调乱

大小不同就不能相加

快速检查

2×32 × 32×3 矩阵可以和 3×23 × 23×2 矩阵相加吗？

答案

若 AAA 是 4×24 × 24×2 矩阵，a31a_{31}a31​ 代表什么？

答案

练习

把方程组 x1−x2=3x_1 - x_2 = 3x1​−x2​=3、2x1+x2=02x_1 + x_2 = 02x1​+x2​=0 写成系数矩阵与常数向量。

引导解答

相关笔记

本节掌握 checkpoint

先备知识

本单元重点词汇

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$2 × 3$ 矩阵可以和 $3 × 2$ 矩阵相加吗？

若 $A$ 是 $4 × 2$ 矩阵， $a_{31}$ 代表什么？

把方程组 $x_1 - x_2 = 3$ 、 $2x_1 + x_2 = 0$ 写成系数矩阵与常数向量。