3.1 矩阵乘法与单位矩阵

矩阵乘法是第一个真正把“行”与“列”结合起来的矩阵运算。它也是矩阵之所以 能表达复合、线性方程组与逆矩阵的核心原因。所以这条规则不能只靠死记；你 要明白每一步的大小条件到底在做什么。

为什么矩阵乘法比加法微妙

矩阵加法与数乘都是逐项进行。矩阵乘法则不同：输出中的一个元素，是由左边 矩阵的一整行与右边矩阵的一整列共同决定。

内侧大小必须配对；外侧大小则给出结果矩阵的大小。

行乘列规则

这个定义同时说明三件事：

• 矩阵乘法不是逐项相乘；
• 内侧大小必须吻合；
• 一个输出元素会用到整行与整列中所有对应位置。

矩阵乘向量就是方程组语言

若 x 是列向量，那么 Ax 只是矩阵乘法的特例，但它刚好把线性方程组的左 边全部打包起来。

对

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

有

$$Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 并不是纯粹缩写，而是把整个方程组写成一个矩阵乘积。

单位矩阵是刻意“什么也不改变”的矩阵

例如

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

单位矩阵之所以重要，是因为它对任何大小相容的矩阵都不起改变作用：

$$AI_n = A, \qquad I_m A = A.$$

这正是往后定义逆矩阵的原因：若 $A^{-1}$ 存在，就要求 $AA^{-1} = I$。

乘法一般不交换

线性代数最早令学生不习惯的地方之一，就是

$$AB \ne BA$$

一般并不成立。

有时两个乘积都定义，但结果不同；有时其中一个有定义，另一个根本未定义。 所以次序同时影响“能不能做”与“做出来是什么”。

下面的图可以帮你直接看到：一个输出元素，是如何由一行与一列构成的。

用列的观点去读乘积

除了逐格计算之外，矩阵乘法还有另一种非常重要的读法。

如果把 $B$ 的列写成

$$B = [b_1\ b_2\ \cdots\ b_p],$$

那么就有

$$AB = [Ab_1\ Ab_2\ \cdots\ Ab_p].$$

也就是说，乘积的每一列，都可以理解成 $A$ 乘上 $B$ 的对应列向量。

矩阵乘法其实表示复合

矩阵乘法不是随手规定出来的公式，而是用来表达线性映射复合的规则。

如果向量 x 先被送到 Bx，再将结果送到 A(Bx)，那么整体作用就是

$$(AB)x.$$

所以内侧大小一定要匹配，因为第一个变换的输出，必须是第二个变换可以接收 的输入。

标准基向量解释为什么列的观点这么自然

在 $R^n$ 中，$e_k$ 是第 k 个位置等于 1、其余位置都为 0 的向量。 如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，那么 $Ae_k$ 就恰好是 $A$ 的第 k 列。

因此单位矩阵一点都不神秘。$I_n$ 的各列就是 $e_1, e_2, \ldots, e_n$，所以 右乘 $I_n$，其实就是逐列把 $A$ 自己原封不动地重建出来。

同一个 sanity check 也适用于零矩阵。如果右边矩阵每一列都是零向量，那么乘积 的每一列也都会变成零向量，所以任何大小相容的 A0 都一定是零矩阵。

最先要记住的代数法则

当乘法有定义之后，下一步就要问：它和你已经熟悉的其他矩阵运算如何配合。

只要大小相容，矩阵乘法满足

$$A(B + C) = AB + AC, \qquad (A + B)C = AC + BC,$$

而纯量也可以移进移出：

$$(cA)B = c(AB) = A(cB).$$

零矩阵是最简单的 sanity check。若 0 是大小相容的零矩阵，就有

$$A0 = 0, \qquad 0A = 0.$$

原因是：行乘列时只要其中一边全是零，所有输出元素都只能是零。

这些法则虽然基础，但后面谈逆矩阵、block 计算和更长乘积推理时都会默认使 用。如果不把它们明确掌握，后面的长计算会很难核对。

从练习题看出主要陷阱

矩阵代数的 assignment 题通常不只是测试算术。当乘积里面出现未知元素时， 题目往往同时要求你读懂大小、知道哪一行和哪一列决定某个输出元素，并记得 矩阵因子通常不能互相调换。

这类题目的重点，不是把所有元素都盲目乘出来，而是抽出已知乘积元素所强制 的少数方程。

同一个警告也解释了常见错误：

$$(A+B)(A-B) =A^2-AB+BA-B^2.$$

只有在额外知道 $AB=BA$ 时，这才等于 $A^2-B^2$。实数代数会遮住这个问题， 因为实数乘法可交换；矩阵代数不会。

可以用一次明确计算看出原因。写

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ b_1 & c_1 & 0 \\ d_1 & e_1 & f_1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} a_2 & 0 & 0 \\ b_2 & c_2 & 0 \\ d_2 & e_2 & f_2 \end{bmatrix}.$$

则

$$AB = \begin{bmatrix} a_1a_2 & 0 & 0 \\ b_1a_2+c_1b_2 & c_1c_2 & 0 \\ d_1a_2+e_1b_2+f_1d_2 & e_1c_2+f_1e_2 & f_1f_2 \end{bmatrix}.$$

对角线上方的元素保持为零，因为那些行乘列的和式中，每一项都会被左边或右 边其中一个上方零项杀掉。这是一个“形状性质”被矩阵乘法保留的好例子。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

本节建立在 2.1 矩阵基础 之上。 下一节可读 3.2 转置与特殊矩阵， 或直接跳到 5.1 可逆矩阵。