2.3 高斯消元与最简行阶梯形

为什么要学消元

很多同学第一次接触高斯消元时，都会觉得它像一堆死规则：

• 换行，
• 乘一行，
• 减一行，
• 一直做到矩阵看起来“整齐”为止。

这个理解太弱。

高斯消元真正的作用，是把本来难读的方程组，逐步改写成容易阅读的 形式。每一步行变换都应该回答一个很清楚的问题，例如：

• 我下一步想把哪个变量的位置弄清楚？
• 哪个元素正在阻碍我？
• 用哪个操作，可以在不改变解集的情况下制造更多 0？

如果你一直带着这些问题去做，消元就不再像机械重复，而会变成一种 有方向的阅读方法。

先讲直觉：我们想得到什么形状？

我们想得到的，不只是“比较简单的矩阵”，而是方便读出结构的矩 阵。

实际操作时，你会不断做下面几件事：

1. 选一个主元，
2. 把它下面的元素清掉，
3. 转到右下角更小的子矩阵，
4. 如果想得到最容易直接阅读的形式，再把主元上面的元素也清掉。

所以，消元其实是在一步一步建立一条主元阶梯。

每一个非零行最左边的第一个非零元素，叫做 主元。含有主元的列， 叫做 主元列。没有主元的列，对应的是 自由变量。

这些词汇很重要，因为后面判断“唯一解 / 无限多解 / 无解”时，就是靠 它们。

所以，行化简不是在改题目，而是在重新排列同一题的信息。

走一次完整的消元路径

消元法的核心做法，是由增广矩阵开始， 然后反复利用主元去清掉它下面的元素。现在我们沿着这个思路看一个 小例子：

$$\begin{aligned} x + 2y + 2z &= 4, \\ x + 3y + 3z &= 5, \\ 2x + 6y + 5z &= 6. \end{aligned}$$

它的增广矩阵是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

这个例子要你记住的，不是孤立的步骤，而是下面的节奏：

• 清主元下面的元素，建立 REF；
• 清主元上面的元素，建立 RREF；
• 到了 RREF，就可以直接读解。

用互动步骤器再走一次

下面的步骤器保留同一条消元路径，但刻意放慢节奏。每到一步，都请你 同时观察：

1. 正在处理哪一个主元；
2. 正在做哪一个行变换；
3. 做完之后，哪一部分变得更容易读。

较长的作业式行化简

短例子适合学习基本操作，但真正的作业题通常会检查你能不能把整段计 算保持有组织。难点不只是数字变大，而是每一步都要知道自己正在清哪 一列、建立哪一个主元。

考虑增广矩阵

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 5 & 10 & 3 & 2 & 4 & 11 & 8 \end{bmatrix}.$$

第一列已有可用主元。先清掉它下方的元素，得到

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

现在第 2 行提供下一个主元。用它清掉下面相同方向的元素：

$$R_3\leftarrow R_3-R_2, \qquad R_4\leftarrow R_4-3R_2.$$

再把之后出现的重复行清掉后，一个清楚的阶梯阶段是

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

这里要暂停阅读结构：主元列是第 1、3、5 列；自由列是第 2、4、6 列。要到 RREF，只需清掉第 5 列主元上方的元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_3.$$

最后的最简形是

$$C'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

令

$$x_2=u,\qquad x_4=v,\qquad x_6=w.$$

三条主元方程读成

$$\begin{aligned} x_1+2x_2+x_4+2x_6 &= 1,\\ x_3-x_4-x_6 &= 5,\\ x_5+x_6 &= -3. \end{aligned}$$

所以所有解可以写成

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\5\\0\\-3\\0 \end{bmatrix} +u \begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +w \begin{bmatrix} -2\\0\\1\\0\\-1\\1 \end{bmatrix}.$$

这个例子说明，长消元的目的不只是制造 0，而是暴露主元与自由变量的 结构，然后由这个结构写出完整解集。

怎样读一个 RREF 矩阵

当矩阵已经在 RREF 时，最重要的阅读问题有三个：

• 每个变量列都有主元吗？
• 有没有自由变量？
• 有没有矛盾行？

常见错误

快速检查

练习

练习 1

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

开始，如果你的目标是清掉第一个主元下面的元素，最自然的第一步行变 换是什么？

练习 2

考虑矩阵

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

它代表的系统有唯一解、无限多解，还是无解？

练习 3

由

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

开始，哪一个单步行变换可以把它化成 RREF？

练习 4

对于 RREF

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

令 $x_2=u$、$x_4=v$、$x_6=w$。把 $x_1$、$x_3$、$x_5$ 写成 u、 v、w 的式子。

先读这一页

这一页直接建立在 2.2 增广矩阵与行变换 之上。如果你对“为什么行变换不会改变解集”仍然觉得不稳，请先回去 重读那一页，再练这里的长消元路径。