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2.1嵌入式互動預計閱讀時間: 10 分鐘

2.1 矩陣基礎

先把矩陣當成真正的數學對象來讀：大小、元素、相等、基本運算，以及方程組如何寫成矩陣形式。

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MATH1030：線性代數 I

線性代數筆記。

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37 節

在課程一開始，矩陣似乎只是把線性方程組整理得更緊湊的方法。但很快你就 會看到，矩陣本身也是需要獨立研究的對象。往後的消元、零空間、可逆性與向 量空間語言，都依賴你先把下面幾件事分清：

  • 矩陣到底是甚麼；
  • 兩個矩陣甚麼時候才算相等；
  • 在矩陣乘法出現之前，哪些基本運算已經定義好；
  • 線性方程組如何被記錄成矩陣敘述。

這一節先把這套語言講清楚。

開始之前

本節不假設你已經學過矩陣理論。不過，它會用到代數和第一節線性方程組裏的 一些基本習慣。

你應該能夠：

  • 把 x1x_1、x2x_2、x3x_3 讀成三個不同未知數；
  • 在一條線性方程中找出係數，包括係數為 0、1、−1-1 的情形；
  • 保持有序數組，例如 (2,−1,4)(2,-1,4) 中每個數的位置；
  • 逐項做基本的正負數運算。

如果這些地方還未熟，也不需要先背矩陣術語。讀這一頁時，更有效的做法是 在每個例題旁邊停一下，問自己：現在用的是哪一行、哪一列、哪一個位置？

甚麼是矩陣

定義

矩陣

矩陣是按行和列排成的長方形數字表。

若一個矩陣有 m 行、n 列，就稱它是 m×nm \times n 矩陣。本課中的元素通常 是實數，但定義本身並不限於實數。

矩陣寫成長方形，不是排版習慣而已。每一行、每一列都帶着位置資訊；後面定 義矩陣相等、矩陣加法與矩陣乘法時，這些位置都不能隨便打亂。

因此，矩陣不應被看成一堆散亂數字。放在第 1 行第 3 列的數字，和同一 個數字放在第 3 行第 1 列，可以扮演完全不同的角色。舉例說，在係數矩 陣中，列的位置連到已經選定的變量次序。若變量次序是 (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3)， 第二列記錄的就是 x2x_2 的係數；若改用 (x2,x1,x3)(x_2, x_1, x_3) 作次序，顯示出 來的矩陣亦必須相應改變。

常見錯誤

不要把係數和位置分開

單看數字 5，並不能知道它乘在哪個變量上。在係數矩陣中，是列位置提供了 這個資訊。除非同時改變變量次序，否則移動一整列就會改變原本編碼的方程 組。

矩陣結構圖：大小、行、列，以及一個指定元素
1203-14第 2 行第 3 列元素 a_23 = 4

2 行、3 列，所以大小是 2 x 3

第一個下標選行，第二個下標選列。

先看大小，再看元素

矩陣的大小寫作 m×nm × n。

  • m 是行數。
  • n 是列數。

如果 m=nm = n，這個矩陣就是方陣。

不同大小的矩陣，不只是「看起來不同」，而是根本屬於不同類型的對象。例 如 2×32 \times 3 與 3×23 \times 2 矩陣連逐項比較都做不到，因為位置對不上。

逐個元素去讀

若 AA 是一個矩陣，aija_{ij} 表示第 i 行第 j 列的元素。這種記號 很重要，因為之後你可以精確指出一個數在矩陣中的位置。

例題

仔細讀一個矩陣

設

A=[1203−14].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}.

這個矩陣有 2 行 3 列，所以大小是 2×32 × 3。 第 2 行第 3 列的元素是 4。

記號 aija_{ij} 不是繁瑣標記，而是往後處理矩陣相等、加法、數乘與乘法時的 正式語言。

第一次讀矩陣時，先練「讀」再練「算」。下面的互動任務刻意保持簡單：它訓 練的正是以後做行化簡和矩陣乘法時最容易出錯的基本動作。

邊讀邊試

計算前先練習讀懂矩陣

透過引導任務練習矩陣計算前最基本的動作：讀大小、元素、行、列，以及係數位置。

120
3-14

要留意甚麼

先數行，再數列。不要把順序倒轉。

自己試一試

這個矩陣的大小是多少？

矩陣相等要逐項檢查

兩個矩陣要相等，必須大小一致，而且所有對應位置的元素完全一樣。

定義

矩陣相等

設 A=[aij]A = [a_{ij}] 與 B=[bij]B = [b_{ij}] 為兩個矩陣。

則 A=BA = B 當且僅當：

  1. AA 與 BB 的大小相同；
  2. 對每一個行列位置 (i,j)，都有 aij=bija_{ij} = b_{ij}。

所以證明兩個矩陣相等，往往就是逐項比較。

例題

由矩陣相等求未知數

若

[123x]=[1235],\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix},

那麼三個位置已經對上，剩下的位置也必須對上，因此 x=5x = 5。

先有加法與數乘

矩陣乘法出場之前，已有兩個基本運算。

定義

矩陣加法與數乘

設 A=[aij]A = [a_{ij}] 與 B=[bij]B = [b_{ij}] 為同樣大小的矩陣，c 為標量。

  • A+BA + B 由對應位置相加得到，即 (A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}；
  • cA 由每個元素都乘上 c 得到，即 (cA)ij=caij(cA)_{ij} = c a_{ij}。

其中「同樣大小」是關鍵條件。若大小不同，矩陣加法根本未定義。

例題

計算一個矩陣和與一個數乘

令

A=[1−203],B=[41−52].A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}.

則

A+B=[5−1−55],2A=[2−406].A + B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.

每個元素都逐項處理，但矩陣的大小仍然保持 2×22 \times 2。

所有元素都是 0 的矩陣叫做零矩陣。對固定大小來說，它是加法單位元：

A+O=A.A + O = A.

矩陣把方程組整理成一個敘述

矩陣在課程中之所以這麼早出現，正是因為它可以把線性方程組打包成較容易系 統處理的形式。

考慮方程組

x1+2x2−x3=4,3x1−x2+5x3=7.\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}

它的係數矩陣是

A=[12−13−15],A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},

未知向量是

x=[x1x2x3],x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},

常數向量是

b=[47].b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.

於是整個系統就可以寫成

Ax=b.Ax = b.

這不是單純的縮寫，而是把同一組係數、未知數與常數整理成一個往後可以做行 變換、談零空間與可逆性的數學對象。

如何處理基本矩陣題目

多數入門矩陣題並不是要故意繞你，而是在檢查你能否把位置和對象讀清楚。一 個可靠的做題順序是：

  1. 先確認題目要甚麼對象：大小、元素、行、列、係數矩陣、常數向量、矩陣 和，還是數乘；
  2. 如果涉及運算，先檢查運算是否有定義；
  3. 保持行的順序和列的順序不變；
  4. 只計算題目真正問到的那些元素；
  5. 如果答案本身是矩陣或向量，要同時寫出它的大小。

例題

從文字讀出係數矩陣

題目：按變量次序 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)，寫出下列方程組的係數矩陣與常數向量：

2x1−x3=5,−x1+4x2+3x3=−2.\begin{aligned} 2x_1 - x_3 &= 5,\\ -x_1 + 4x_2 + 3x_3 &= -2. \end{aligned}

第一條方程沒有寫出 x2x_2 項，所以先把缺失的係數補出來：

2x1+0x2−x3=5.2x_1 + 0x_2 - x_3 = 5.

現在，每一條方程變成一行，列的順序則跟固定變量次序 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3) 一致。因此

A=[20−1−143],b=[5−2].A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}.

最常見的錯誤是省略第一行中的 0。但缺失的 x2x_2 係數本來就是數據的一 部分，第二列仍然必須存在。

先預告一下乘法

下一節才正式講矩陣乘法。這裏先讓你看到，為甚麼「行」與「列」的角色如此 重要：左矩陣的一行，會和右矩陣的一列共同決定輸出中的一個元素。

你可以把下面的圖當成下一節的預告。

邊讀邊試

跟著看一格矩陣乘法

互動工具會在你改變 A 與 B 的元素時，即時更新 AB 的每一格。

結果

89
34

8 = 1×2 + 2×3

常見錯誤

常見錯誤

不要把行和列調亂

第一個下標是行號，不是列號。a23a_{23} 代表第 2 行第 3 列。

常見錯誤

大小不同就不能相加

矩陣加法是逐項相加；若位置對不上，就沒有運算可做。

快速檢查

快速檢查

2×32 × 3 矩陣可以和 3×23 × 2 矩陣相加嗎？

請按定義回答，不要只憑外觀判斷。

解答

答案

快速檢查

若 AA 是 4×24 × 2 矩陣，a31a_{31} 代表甚麼？

指出行與列的位置。

解答

答案

練習

快速檢查

把方程組 x1−x2=3x_1 - x_2 = 3、2x1+x2=02x_1 + x_2 = 0 寫成係數矩陣與常數向量。

先固定未知數順序 (x1,x2)(x_1, x_2)。

解答

引導解答

相關筆記

若想看方程組如何變成矩陣，可先回看 1.1 方程與解集。 下一節可讀 3.1 矩陣乘法與單位矩陣。

本節掌握 checkpoint

要完成這一節 checkpoint，需要把每一題答對。 答對進度: 0%.

技能點: matrix-basics, matrix-dimensions

填空：一個有 4 行、3 列的矩陣，其大小是 ____。

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

輸入格式提示: 可用 m x n 或 m×nm×n 形式。

技能點: matrix-basics, entry-notation

設 A=[[1,2,0],[3,−1,4]]A = [[1,2,0],[3,-1,4]]。a23a_23 是多少？

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

技能點: matrix-basics, coefficient-matrix, linear-system

按變量次序 (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)，方程 2x1−x3=52x_1 - x_3 = 5 在第 2 列的係數是 ____。

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

輸入格式提示: 請輸入一個數字。

技能點: matrix-basics, matrix-addition, definedness

判斷：每個 2 x 3 矩陣都可以和每個 3 x 2 矩陣相加。

已用嘗試次數: 0

剩餘嘗試次數: 不限嘗試次數

預覽不會消耗嘗試次數。

提交會記錄一次正式評分嘗試。

先備知識

這一節可以獨立閱讀。

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