當矩陣變大時，若你仍然逐個元素去看，主線很容易被淹沒。分塊矩陣的作用，就是讓你把一個大矩陣視為由幾個較小子矩陣組成的結構。
這並沒有改變數學內容，只是把你觀察結構的層次提升了一級。
先有直覺：一個大矩陣，幾個小部分
分塊矩陣首先來自「分割」。你在矩陣中畫出水平線與垂直線，把原矩陣切成幾個較小的子矩陣，這些子矩陣便稱為區塊。
關鍵是：這些區塊不是隨便畫出來的。它們之所以有用，是因為大小之間配合得好。
當分割固定之後，你很多時可以把加法、純量乘法，甚至乘法，都改用「整塊對整塊」的方式去寫。
定義
定義
分塊矩陣
分塊矩陣是把一個矩陣切分成幾個較小長方形子矩陣後得到的表示方式。
只有當兩個分塊矩陣擁有相同的分割方式時，才可以逐塊相加或逐塊相減。
而分塊乘法之所以可行，是因為各個區塊的大小仍然滿足普通矩陣乘法所要求的內側配對條件。
為何分割方式本身很重要
初學者常會以為：只要兩個大矩陣整體大小相同，就一定能逐塊相加。這是不對的。
除了整體大小之外，分割方式也一定要一致。若一個矩陣把行分成 ，另一個則分成 ，即使它們同樣都是 ，那些區塊也不會一一對應。
所以處理分塊矩陣時，你要同時檢查兩層：
- 整體矩陣的大小；
- 每一個區塊的大小與排列。
例子
例題
讀懂 2 × 2 分塊乘法公式
設
若區塊大小相容，則
這個公式看起來和普通 矩陣乘法完全一樣，只不過這裏每一個「元素」都變成了一整個子矩陣。
為何分塊乘法有用
分塊乘法不是一個新的代數世界。它其實只是把普通矩陣乘法寫得更有組織。
它之所以有價值，是因為它能幫你：
- 把變量分成幾組；
- 把相關的行與列留在一起；
- 在較大的計算中重用熟悉的小結構。
之後你會常見到這種情況：某個大矩陣自然分成係數塊、單位塊，或不同部分的變換塊。若不用分塊語言，式子會變得很亂。
常見錯誤
常見錯誤
以為任何分割都可以
分塊公式只有在區塊大小相容時才成立。分割方式不是裝飾，而是公式能否成立的前提。
常見錯誤
忘記分塊運算仍然服從普通大小規則
像 這樣的區塊乘積，仍然要滿足普通矩陣乘法的內側大小配對要求。分塊視角並不會取消原本的規則。
快速檢查
快速檢查
為甚麼兩個分塊矩陣要有相同分割方式，才能逐塊相加？
請在答案中使用「對應區塊」四個字。
解答
答案
快速檢查
2 × 2 分塊乘法公式的核心想法是甚麼？
不要計算，只要描述它的模式。
解答
答案
練習
快速檢查
請解釋：為甚麼分塊乘法本質上仍然是普通矩陣乘法？
答案中請用到「同一條規則」。
解答
引導解答
快速檢查
若兩個 矩陣的分割方式不同，可以逐塊相加嗎？為甚麼？
請用一至兩句回答。
解答
引導解答
相關筆記
若普通矩陣乘法的模式仍未穩固，可先回看 3.2 矩陣乘法與線性方程組。
若你準備好把矩陣結構連到可逆性，可接著讀 5.1 可逆矩陣。