3.2 矩陣乘法與線性方程組

矩陣乘法是第一種真正讓人覺得「和前面不同」的矩陣運算。上一節的加法、減法與純量乘法，全都是逐格進行。矩陣乘法不是。

它的核心做法是：每個輸出元素都由

• 左邊矩陣的一行，和
• 右邊矩陣的一列

配對而成。

正因如此，矩陣乘法對大小的要求會比前一節更嚴格。

先有直覺：中間大小一定要吻合

若 $A$ 是 $m × n$ 矩陣，而 $B$ 是 $n × p$ 矩陣，則 AB 有定義，而且結果會是 $m × p$ 矩陣。

中間那個 n 重複出現，是因為 $A$ 的一行有 n 個元素，而 $B$ 的一列也必須剛好有 n 個元素，這樣才能逐項配對、逐項相乘、最後加總。

所以初學時最值得記住的一句話是：

內側大小要一致。

定義

一個輸出元素到底代表甚麼

初學時最容易被符號弄亂，所以最好把規則慢慢拆開。

若你要算 $[AB]_{23}$：

1. 先看 $A$ 的第 2 行；
2. 再看 $B$ 的第 3 列；
3. 把對應位置逐項相乘；
4. 最後把所有乘積加起來。

所以，一個輸出元素其實濃縮了多次乘法和一次總加法。

內嵌互動時刻

下面的互動工具可以固定觀察一個輸出位置，然後改動輸入矩陣的元素。這是建立「行乘列」習慣最快的方法之一。

例子

為何這和線性方程組有關

你早已見過 $Ax = b$ 這個寫法。

這不只是省位的記號，而是說明：矩陣乘法可以把多條線性方程一次打包。$A$ 的每一行與向量 x 配對，就會產生一條方程。

若

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

則

$$Ax = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 的意思其實就是一個完整方程組，只不過它是以矩陣方式寫成。

這和普通數字乘法很不同。矩陣乘法裏，次序本身就是數學內容的一部分。

常見錯誤

快速檢查

練習

相關筆記

若你想把 $Ax = b$ 和方程組的矩陣寫法再連起來，請先回看 2.2 增廣矩陣與行變換。

下一步可讀 3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣。